Allgemeines über Vektoren im (ℝ^3)

Im Gegensatz zu den Vektorrechnungen in der Ebene geht es hier um die Vektorrechnungen im Raum. 
Anstatt des zweidimensionalen Koordinatensystemes befassen wir uns jetzt mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
Hierbei handelt es sich einfach um eine Aufstockung des geläufigen ebenen Systems in die dritten Dimension. 
Wir denken an eine nach vorne verlaufende positive x-Achse, eine y-Achse nach rechts und eine z-Achse nach oben.
Jede Achse schließt mit der anderen einen rechten Winkel ein.

Beispiel:

Gegeben ist P(3|4|5). Gesucht ist der Ortsvektor des Punktes P und sein Abstand vom Ursprung.

Ortsvektor: (Overscript[OP, ->]) = (({{3}, {4}, {5}}))
Um die gesuchte Entfernung zu bestimmen, benötigt man den Betrag des Vektors (Overscript[x, ->]). 
Die Koordinaten (Subscript[x, 1]),  (Subscript[y, 1]) und (Subscript[z, 1]) bilden in einem kartesischen Koordinatensystem einen Quader.

Für einen Quader mit den Seiten a, b, c und der Raumdiagonale d gilt: |(Overscript[x, ->])| = (Sqrt[(3^2)+(4^2)+(5^2)])= (Sqrt[9+16+25]) = 5* (Sqrt[2])
Mit dieser Formel kann man den Betrag des Vektors im Raum bestimmen, auch die Länge genannt.

Allgemein kann man wieder sagen:
(Overscript[x, ->]) = (({{x}, {y}, {z}})) ⟹ | (Overscript[x, ->])  | = (Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])

Beispiel

Die Länge der Strecke AB [ A(1|4|-4), B(-5|1|-2) ] zu bestimmen.
(Overscript[AB, ->]) = (({{-5, -, 1}, {1, -, 4}, {-2, -, (-4)}})) = (({{-6}, {-3}, {2}})) ⟹ | (Overscript[AB, ->]) | =(Sqrt[(((-6))^2)+(((-3))^2)+ (2^2)]) = (Sqrt[36+9+4]) = (Sqrt[49])=7

Allgemein kann man sagen:

 A( (Subscript[x, 1])| (Subscript[y, 1]) | (Subscript[z, 1]))  und B( (Subscript[x, 2])| (Subscript[y, 2]) | (Subscript[z, 2]) )
(Overscript[AB, ->]) = (({{(Subscript[x, 2]), -, (Subscript[x, 1])}, {(Subscript[y, 2]), -, (Subscript[y, 1])}, {(Subscript[z, 2]), -, (Subscript[z, 1])}}))

Beispiel

Aus den Vektoren ist so herauszuheben, dass die Koordinaten möglichst einfach (bruchfrei) zu machen:
(Overscript[a, ->]) = (({{(5/2)}, {3,5}, {-3,125}}))  
⟹  (Overscript[a, ->]) = (({{(5/2)}, {(7/2)}, {((-25)/8)}}))  ⟹  (Overscript[a, ->]) = (1/8) *(({{20}, {28}, {-25}}))

Allegemein:

c * (({{(Subscript[a, x])}, {(Subscript[a, y])}, {(Subscript[a, z])}})) = (({{c *(Subscript[a, x])}, {c *(Subscript[a, y])}, {c * (Subscript[a, z])}}))

Beispiel

Die Vektoren  (Overscript[a, ->]) = (({{-2}, {1}, {3}})) , (Overscript[b, ->]) = (({{4}, {-3}, {5}})) und (Overscript[c, ->]) = (({{5}, {2}, {-6}})) sind zu addieren:

(Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->]) + (Overscript[c, ->]) =  (({{-2}, {1}, {3}}))  + (({{4}, {-3}, {5}})) +  (({{5}, {2}, {-6}}))  =  (({{-2 + 4 +5}, {1+(-3)+2}, {3 +5+(-6)}})) =  (({{7}, {0}, {2}})) 

Allgemeines :
(Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->])  = (({{(Subscript[a, x])}, {(Subscript[a, y])}, {(Subscript[a, z])}}))+(({{(Subscript[b, x])}, {(Subscript[b, y])}, {(Subscript[b, z])}}))= (({{(Subscript[a, x]), +}, {(Subscript[a, y]), +}, {(Subscript[a, z]), +}})({{(Subscript[b, x])}, {(Subscript[b, y])}, {(Subscript[b, z])}}))

Beispiel

Bestimme den Einheitsvektor vom dem Vektor (Overscript[a, ->]) = (({{-2}, {14}, {23}})).

| (Overscript[a, ->]) | = (Sqrt[(((-2))^2)+(14^2)+(23^2)])= (Sqrt[729])

(Subscript[(Overscript[a, ->]), 0]) = (1/(Sqrt[729])) *  (Overscript[a, ->]) = (1/(Sqrt[729]))*(({{-2}, {14}, {23}}))

Allgemein kann sagen:
 Der Einheitsvektor kann durch die Länge des Vektor und dem Vekotr bestimmt werden. Er hat immer die Länge 1.
 
 (Subscript[(Overscript[a, ->]), 0]) = ((  (Overscript[a, ->]) )/(|(Overscript[a, ->]) |))

Beispiel

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB [ A(-3| 2 | 5), B(11| -6| 7) ].

(Overscript[OM, -->]) = ((
(Overscript[OA, -->]) +(Overscript[OB, -->])  )/2) 

(Overscript[OM, -->]) = (((({{-3}, {2}, {5}}))+(({{11}, {-6}, {7}})))/2)= (((({{8}, {-4}, {12}})))/2) = (({{4}, {-2}, {6}}))

⟹ M(4| -2| 6)

Beispiel

Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC [ A(-7| 2 | 1), B(6| 7| -2) und C(4| -3| -5 )].

(Overscript[OS, -->]) = ((
(Overscript[OA, -->]) +(Overscript[OB, -->]) + (Overscript[OC, -->]) )/3) 

(Overscript[OS, -->]) = ((
(({{-7}, {2}, {1}}))+(({{6}, {7}, {-2}}))+(({{4}, {-3}, {-5}})) )/3) =  ((
(({{-7 +6 +4}, {2 + 7 + (-3)}, {1 + (-2) + (-5)}})) )/3) =  ((
(({{3}, {6}, {-6}})) )/3) = (({{1}, {2}, {-2}}))

⟹ S(1| 2| -2)

Beispiel

Es ist zu zeigen, dass (Overscript[a, ->]) und  (Overscript[b, ->]) normal aufeinanderstehen.
(Overscript[a, ->]) = (({{-7}, {2}, {11}})) und  (Overscript[b, ->]) = (({{3}, {-6}, {3}}))

(Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->]) =  (({{-7}, {2}, {11}})) * (({{3}, {-6}, {3}})) = -21 -12+33 = 0 ⟹ (Overscript[a, ->]) ⊥  (Overscript[b, ->]) #

Das ist ein skalares Produkt zweier Vektoren. 

Allgemeines dazu:

Skalares Produkt zweier Vektoren:
(Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->])  =  (({{(Subscript[a, x])}, {(Subscript[a, y])}, {(Subscript[a, z])}}))*(({{(Subscript[b, x])}, {(Subscript[b, y])}, {(Subscript[b, z])}}))= (Subscript[a, x])(Subscript[ab, x])+(Subscript[a, y])(Subscript[b, y])+(Subscript[a, z])(Subscript[b, z])

Orthogonalität: (Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->])  = 0 ⟺ (Overscript[a, ->]) ⊥  (Overscript[b, ->])

Beispiel

Man berechne den Winkel, den die Vektoren (Overscript[a, ->]) =(({{2}, {3}, {-4}})) und (Overscript[b, ->]) =(({{5}, {-1}, {-2}})) miteinander einschließen.

| (Overscript[a, ->]) | = (Sqrt[(2^2)+(3^2)+ (((-4))^2)])=(Sqrt[29])

| (Overscript[b, ->]) | = (Sqrt[(5^2)+(((-1))^2)+(((-2))^2)])=(Sqrt[30])

cos[θ] = (((Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->]) )/(|(Overscript[a, ->])| *  |(Overscript[b, ->])| )) =  (((({{2}, {3}, {-4}})) *  (({{5}, {-1}, {-2}})) )/(|(Overscript[a, ->])| *  |(Overscript[b, ->])| ))


cos[θ] = (((Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->]) )/(|(Overscript[a, ->])| *  |(Overscript[b, ->])| ))= (((({{2}, {3}, {-4}}))*(({{5}, {-1}, {-2}})) )/((Sqrt[29])*(Sqrt[30]))) = ((10-3+8)/((Sqrt[29])*(Sqrt[30]))) =  (15/((Sqrt[29])*(Sqrt[30]))) = 0,5085 ⟹ θ =59,43°

Allgemein kann man einen Winkel mit dieser Formel cos[θ] = (((Overscript[a, ->]) *  (Overscript[b, ->]) )/(|(Overscript[a, ->])| *  |(Overscript[b, ->])| ))  ausrechnen. 
Oben ist das Skalare Produkt und unter dem Bruchstrich stehen jeweils die Längen von a und b.