Bei geometrischen Konstruktionen muss man häufig „Rechte Winkel“ einzeichnen, d.h. zu einer gegebenen Richtung die orthogonale Richtung finden.

Links-Kipp-Regel : 

Analog erhält man die 

Rechts-Kipp-Regel : 

Man sieht, dass  genau der entgegengesetzte Vektor von  ist. 

Die Koordinaten eines gekippten Vektors erhält man also, indem man die Koordinaten des gegebenen Vektors vertauscht und das Vorzeichen einer Koordinate ändert.

Zum Festlegen der zu einem Vektor  orthogonalen Richtung kommt natürlich nicht nur der gemäß der Kippregel ermittelte Vektor  bzw.  in Frage, sondern jeder zu  (und damit zu ) kollineare Vektor: 

Zu einem gegebenen Vektor gibt es daher unendlich viele Orthogonalvektoren. 

Nach oben gilt:

Eliminiert man v, so erhält man:  = 0.
Man sieht hier, dass die Orthogonalität also vom Wert des Ausdrucks  abhängt. Man definiert:

Die Zahl  heißt Skalares Produkt der Vektoren  und .   

 Der Name „Skalares Produkt“ wurde gewählt, um zu betonen, dass diese Rechenoperation zwischen zwei Vektoren als Ergebnis keinen Vektor, sondern eben einen Skalar, also eine Zahl, liefert.

Man erhält also:

Orthogonalitätskriterium für Vektoren: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalares Produkt gleich Null ist; d.h.: 

Beachte, dass gemäß diesem Kriterium der Nullvektor zu jedem Vektor orthogonal ist; solche „Orthogonalvektoren“ werden im Allgemeinen aber nicht verwendet.  

Rechenregeln und Eigenschaften:  

Für zwei beliebige Vektoren  und  und  v R gilt:

Geraden kann man auf verschiedene Weisen darstellen. Wenn man zwei Punkte der Geraden kennt, dann ist die beste Darstellungsweise die Zwei-Punkt-Form der Parameterdarstellung einer Geraden g:

Jedem Punkt der Geraden g ist genau ein Parameterwert t  R zugeordnet. Das heißt: Die Parameterdarstellung beschreibt eine bijektive Zuordnung zwischen den Punkten der Geraden und den reellen Zahlen. Durchläuft t alle reellen Zahlen, so durchläuft X alle Punkte der Geraden, und umgekehrt. 

Zwei gegebenen Parameterdarstellungen sieht man nicht sofort an, ob sie die gleiche oder zwei verschiedene Geraden beschreiben. Eine wichtige Rolle spielen dabei die (unendlich vielen) Richtungsvektoren einer Geraden. Ein Richtungsvektor wird zum Beispiel durch den Pfeil
 repräsentiert.
Damit ergibt sich unmittelbar aus der Zwei-Punkt-Form der Parameterdarstellung die Punkt-Richtungs-Form der Parameterdarstellung einer Geraden g :

Beachte: Ein Richtungsvektor darf durch einen „einfacheren“, zu ihm parallelen Richtungsvektor ersetzt werden. Ortspfeile (d.h. feste Punkte) dürfen hingegen nicht vereinfacht werden. 

Anschaulich ist klar, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, wie ein Punkt und eine Gerade zueinander liegen können. Entweder liegt der Punkt auf der Geraden oder nicht. Das Inzidenzkriterium besagt:

Ein Punkt gehört einer Punktmenge genau dann an, wenn seine Koordinaten die die Punktmenge beschreibende Zuordnungsgleichung erfüllen.

Einfacher gesagt heißt das: Ein Punkt liegt genau dann auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten die gegebene Parameterdarstellung oder Geradengleichung erfüllen.

Beispiel: Liegt der Punkt A (1 / 0) auf der Geraden g: X = (-1 / 3) + t  · (2 / -3)?
Man setzt nun den Punkt A in die Parameterdarstellung ein und überprüft, ob der Punkt die Gleichung erfüllt. 

        1 = -1 + 2t     => t = 1 
        0 = 3 + (-3)t   => t = 1     A liegt auf der Geraden

2. Lage zweier Geraden zueinander

Sind zwei Geraden g und h durch ihre Parameterdarstellungen  

gegeben, so kommen für ihre Lage zueinander folgende Fälle in Frage:
 
 

Aus diesen Eigenschaften ergibt sich nun folgender Entscheidungsweg zur Lagebestimmung

Zuerst überprüft man, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache sind. Ist dies nicht der Fall, so schneiden die beiden Geraden einander. Sind die Vektoren Vielfache, dann sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Um dies heraus zu finden, überprüft man, ob der Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt. Wenn der Punkt auf der Geraden liegt, so sind die Geraden identisch. Liegt der Punkt nicht auf der anderen Geraden, so sind die untersuchten Geraden zueinander parallel.

Schneiden die beiden Geraden einander, so muss man noch den Schnittpunkt berechnen. 

Beispiel: Untersuche, wie die Geraden g und h zueinander liegen und ermittle gegebenenfalls den Schnittpunkt! g: X = (-1 / -5) + t · (4 / 3); h: X = (1 / 2) + s · (1 / -2)

    4 = v · 1             v = 4
    3 = v · (-2)         v = -1,5         g schneidet h

Da der Schnittpunkt S sowohl auf g als auch auf h liegen soll, kann man S in beide Parameterdarstellungen einsetzten und diese dann gleichsetzen.

S  g  => S = (-1 / -5) + t · (4 / 3)
S  h  => S = (1 / 2) + s ·  (1 / -2)

    (-1 / -5) + t · (4 / 3) = (1 / 2) + s · (1 / -2) 

    Zur Berechnung der Unbekannten formt man um zu:

    -1 + 4t = 1 + s
    -5 + 3t = 2 – 2s

Durch lösen des Gleichungssystems erhält man t = 1 und s = 2. Nun setzt man t in die Parameterdarstellung von g (bzw. s in die Parameterdarstellung von h) ein und erhält den Schnittpunkt S (3 / -2). 

1. Parameterdarstellung => allgemeine Geradengleichung => Hauptform

Der Übergang von der Parameterdarstellung zur allgemeinen Geradengleichung erfolgt durch das Eliminieren des Parameters. Durch das „Explizitmachen“ von y gelangt man von der allgemeinen Geradengleichung zur Hauptform.

Beispiel: Beschreibe die Gerade g: X = (-1 / -5) + t · (4 / 3) durch eine allgemeine Geradengleichung und durch die Hauptform.

x = -1 + 4  · t |  · 3
y = -5 + 3 · t | · (-4)

3 · x = -3 + 12 · t
(-4) · y = 20 + (-12) · t

3 · x – 4 · y = 17

Aus dieser Gleichung erhält man die Hauptform y = ¾ · x – 17/4

2. Hauptform => Parameterdarstellung

Bei diesem Übergang ist folgende Regel hilfreich: 

Steigungs-Richtungs-Regel : Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor  einer Geraden besteht der Zusammenhang:  

Beispiel: Gib eine Parameterdarstellung der durch y = 0,5x – 6 gegebenen Geraden an!

    k = 0,5  =>  = (1 / 0,5) … (2 / 1)
    d = -6    => A = (0 / -6)                                 => g: X = (0 / -6) + t · (2 / 1)

3. Allgemeine Geradengleichung => Parameterdarstellung

Es gibt zwei Möglichkeiten dieses Problem zu lösen: 

1.    Man wandelt die allgemeine Geradengleichung in die Hauptform um und verwendet dann die Steigungs-Richtungs-Regel.

2.    Man berechnet die Koordinaten zweier Punkte der Geraden und setzt dann in die Zwei-Punkt-Form der Parameterdarstellung ein.