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Hyperbelfunktionen im Lexikon von mathe online

Zurück zum ersten Teil über Hyperbelfunktionen (für Fußgänger)

H 5. Differentiation der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen

Cosh[A] und sinh[A]: Die Ableitungen (und auch die Integrale) dieser beiden Hyperbelfunktionen sind äußerst einfach, leicht zu merken und auch rasch nachzuvollziehen, wenn man die Definitionen für die beiden Hyperbelfunktionen kennt. Demnach lauten die Ableitungen

             (cosh[A])' = sinh[A]

             (sinh[A])' = cosh[A]

Für den hyperbolischen Cosinus zeigen wir anhand der nachstehenden Rechnung, wie wir die Ableitung erhalten.

             [ Cosh[A] ]' = [(1/2)*(e^A + e^-A)]' = [(1/2)*(e^A - e^-A)] = Sinh[A]

Bei den Hyperbelfunktionen erreichen wir bereits nach zweimaligem Differenzieren die ursprüngliche Funktion. Man kann dafür f''(A)=f(A) schreiben. Die Funktionen Cosh[A] und Sinh[A] erfüllen diese Gleichung.

             cosh[A]'' = cosh[A]
             sinh[A]'' = sinh[A]

Ableitung für den hyperbolischen Tangens: Wir benützen, dass tanh[A] = sinh[A]/cosh[A] und erhalten so einen Ausdruck, den wir nach der Quotientenregel ableiten können. Für den Zähler der Ableitung gilt dann die Gleichung der Einheitshyperbel, cosh²[A]-sinh²[A]=1, welche den Zähler vereinfacht.

             [tanh[A]]' = [sinh[A]/cosh[A]]' = (cosh²[A]-sinh²[A])/cosh²A = 1/cosh²[A]

Die Ableitungen der Areafunktionen, arcosh[x] und arsinh[y]: Um die Ableitung für die Umkehrfunktionen auszurechnen, benützen wir einen Satz aus der Theorie der Differentialrechnung: Für eine Funktion, die im betrachteten Intervall stetig und streng monoton ist und deren Ableitung immer ungleich Null ist, gilt f ^-1 '(z)=1/f'(f ^-1 (z)). Mit Hilfe dieses Satzes kann die Ableitung einer Funktion ermittelt werden, wenn man die Ableitung der Umkehrfunktion kennt.

Angewandt auf den Area Cosinus Hyperbolicus bedeutet das (beachte unsere Notation: x = cosh[A], A = arcosh[x]) zunächst

             [arcosh[x]]' = 1/[cosh[A]'] = 1/[sinh[A]]

Nachdem wir mit arcosh[x] angefangen haben, wollen wir auch die Ableitung natürlich als Funktion von der Variablen x dargestellt haben. Da sinh[A]=y und weil für die Einheitshyperbel gilt, dass x²-y²=1 ist, setzen wir fort

             1/sinh[A] = 1/y = 1/[Sqrt(x²-1)]

Wir haben gezeigt

             (arcosh[x])' = 1/[Sqrt(x²-1)]

Eine alternative Möglichkeit wäre auch, einen Ausdruck für die Umkehrfunktion (aus H4), arcosh[x] = ln [ x + Sqrt(x²-1) ], zu übernehmen und nach x abzuleiten. Dazu reichen Kenntnisse über die Ableitung des Logarithmus und die Wurzelfunktion aus.

Für die Funktion (arsinh[A])' erhalten wir

             (arsinh[y])' = 1/[Sqrt(y²+1)]

Ableitung des Area Tangens hyperbolicus: Diese Differentiation führen wir nun anhand der alternativen Methode durch, indem wir den entsprechenden Ausdruck des artanh[t] aus dem Kapitel mit den Umkehrfunktionen benützen

             (artanh[t])' = [ (1/2) * ln ((1+t)/(1-t)) ]' = (1/2) * (1-t)/(1+t) * [(1-t+1+t)/(1-t)²] = 1/(1-t²)

H 6. Integration der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen

Die Integrale von Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus: Wir verwenden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, demnach gilt

             ò cosh[A]dA = sinh[A]

             ò sinh[A]dA = cosh[A]

Integral des hyperbolischen Tangens: Diese Berechnung setzt bereits Kenntnisse aus der Integration mit Substitution voraus. Wir setzen tanh[A] = sinh[A]/cosh[A] und integrieren diesen Bruch. Im Zähler des Bruchs steht die Ableitung des Nenners, also wenden wir eine Substitution an (in mancher Literatur wird es als eigene Rechenregel bezeichnet, dass ò[f'(x)/f(x)]dx=ln[f(x)] gilt).

             ò tanh[A]dA = ò[sinh[A]/cosh[A]]dA = ò(1/u)du = ln[u] = ln[cosh[A]]

Wir überlassen es dem Leser, zur Probe von ln[cosh[A]] die Ableitung zu bilden!

Die Integration der Areafunktionen: Um die Areafunktionen zu integrieren, müssen wir bereits etwas tiefer in die Trickkiste der Mathematik greifen. Zunächst erinnern wir uns daran, dass wir von den Areafunktionen die Ableitungen bereits kennen. Dann integrieren wir partiell und wenden dabei einen Kunstgriff an:

Das Integral vom Area Cosinus hyperbolicus: Um partiell zu integrieren, benötigen wir zwei Faktoren, wir interpretieren arcosh[x] als 1*arcosh[x]! Dann wird, entsprechend der Rechenregel für partielle Integration ( òf'g = fg - òfg' ) 1 integriert, was uns nicht allzu schwer fallen sollte, und arcosh[x] wird differenziert:

             ò arcosh[x]dx = ò 1*arcosh[x]dx = x*arcosh[x] - ò [x*1/[Sqrt(x²-1)]]dx

Haben wir nun wirklich etwas gewonnen? Wir haben neuerlich ein Integral erhalten, das nicht auf Anhieb sondern eher mit einer speziellen Methode gelöst werden kann: Wir wenden nun wieder eine Substitution an: Der Ausdruck unter der Wurzel, x²-1 wird substituiert. Dann gelangt die innere Ableitung, 2x, in den Nenner. x kommt als Faktor im Zähler und im Nenner vor und kann gekürzt werden....

             ò [x*1/[Sqrt(x²-1)]]dx = ò 1/(2*Sqrt(u)) du = Sqrt(u) = Sqrt(x²-1)

Damit lautet das Integral

             ò arcosh[x]dx = x*arcosh[x] - Sqrt(x²-1)

Mit dem selben Algorithmus erhalten wir die Integrale für die beiden anderen Hyperbelfunktionen:

             òarsinh[y]dy = y*arsinh[y] - Sqrt(y²+1)

             òartanh[t]dt = t*artanh[t] + (1/2)*ln(1-t²)

Bemerkungen: Die Betragsstriche bei den logarithmischen Ausdrücken können unterbleiben. Das Integral vom Tangens hyperbolicus ist der natürliche Logarithmus des Cosinus hyperbolicus, der Cosinus hyperbolicus nimmt nur positive Werte an. Bezugnehmend auf das Integral des Area Tangens hyperbolicus wissen wir, dass der Tangens hyperbolicus tanh[A]=t nur Werte im Intervall (-1,1) annimmt.

Nachstehend werden die Ableitungen und Integrale der hyperbolischen Funktionen und der Areafunktionen in einer Tabelle zusammengestellt!

Funktion	Ableitung	Integral
x=cosh[A]	sinh[A]	sinh[A]
y=sinh[A]	cosh[A]	cosh[A]
t=tanh[A]	1/cosh²[A]	ln[cosh[A]]
A=arcosh[x]	1/[Sqrt(x²-1)]	x*arcosh[x] - Sqrt(x²-1)
A=arsinh[y]	1/[Sqrt(y²+1)]	y*arsinh[y] - Sqrt(y²+1)
A=artanh[t]	1/(1-t²)	t*artanh[t] + (1/2)*ln(1-t²)

H 7. Der Parameter "A" - geometrische Deutung als doppelter Hyperbelsektor

In diesem Text wird diskutiert, dass der Parameter "A" als die Fläche des doppelten Hyperbelsektors geometrisch gedeutet werden kann. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass eine solche anschauliche Deutung möglich ist. Jedoch soll das keineswegs bedeuten, dass der Parameter "A" ausschließlich als eine derartige Fläche aufzufassen ist. Beispielsweise kann "A" auch als die Zeit "t" interpretiert werden, in welcher ein Punkt, ausgehend vom Scheitel (1/0), entlang der Hyperbel im ersten Quadranten wandert. Zur Zeit t nimmt der Punkt dann die Koordinaten (cosh[t]/sinh[t]) an.....

Der doppelte Hyperbelsektor ist jene Fläche, die von zwei Geraden und einem Stück der Hyperbel begrenzt wird. Dazu sei P(x/y)=(cosh[A]/sinh[A] ein bestimmter Punkt im ersten Quadranten und Q(x/-y)=(cosh[A]/-sinh[A]] der an der x-Achse gespiegelte Punkt von P, im vierten Quadranten. Die erste Gerade geht vom Ursprung zum Punkt P, die zweite vom Ursprung zum Punkt Q, der Teil der Hyperbel ist jener, welcher sich zwischen P und Q befindet. Der doppelte Hyperbelsektor ist somit axialsymmetrisch bezüglich der x-Achse.

Die Fläche des doppelten Hyperbelsektor ist jene Fläche des Dreiecks, welches der Ursprung U(0/0), P und Q bilden weniger der Fläche die innerhalb der Hyperbel im ersten und vierten Quadranten liegt. Für die Einheitshyperbel gilt x²-y²=1, wir nehmen y=Sqrt(x²-1), bezeichnen die Fläche die wir suchen mit "H" und setzen an

             H = xy - 2ò ₁ ^x y(x)dx

             H = x*(Sqrt(x²-1)) - 2ò ₁ ^p (Sqrt(x²-1))dx

Von nun an betrachten wir x als die unabhängige Variable. Ein x, größer als 1, sei frei wählbar, dieses x nennen wir p. Die anderen beteiligten Größen, y bzw. A ,hängen von x ab. Die Abhängigkeit y(x) ist mit der Gleichung für die Einheitshyperbel dokumentiert. Die Abhängigkeit A(x) ist mit der Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus definiert (siehe Kapitel H 4).

Bei der Flächenberechnung des Dreiecks sind keine Probleme zu erwarten. Für die Flächenberechnung des Integrals müssen wir schon etwas tiefer in die Trickkiste der Mathematik greifen! Wir betrachten daher zunächst nur die Flächenberechnung des Integrals.

Um den Ausdruck zu integrieren, führen wir eine Substitution durch. Dabei setzen wir x=coshA, schließlich haben wir x ja auch immer so aufgefasst! Wenn x=coshA, so folgt daraus, dass dx/dA=sinhA und somit dx=sinh[A]dA. Wir müssen bei der Substitution den Ausdruck dx auch ersetzen und erhalten so unter dem Integral eine Funktion in Abhängigkeit von A, die auch nach A zu integrieren ist!

Die Grenzen: Das ursprüngliche Integral war in Abhängigkeit von x, also mit "x-Grenzen" zu integrieren. Das neue Integral wäre in Abhängigkeit von A, also mit "A-Grenzen" zu integrieren. Wir merken uns das und führen am Ende der Rechnung eine Rücksubstitution durch, sodass wir dann die Lösung mit den x-Grenzen betrachten können. Alternativ dazu könnten wir auch die Grenzen mit substituieren. A ist in Abhängigkeit von x der Arcosh[x]. Für die linke Grenze, 1, erhalten wir Arcosh[1]=0 (es empfiehlt sich, das auch mit dem logarithmischen Term für den Arcosh[x], siehe H.4, nachzuvollziehen), für die rechte Grenze erhalten wir arcosh[p]! Ziel unserer Rechnung ist es nur, zu beweisen, dass die Fläche des Hyperbelsektors H identisch mit dem Parameter A ist!

             Substitution: x=coshA, dx=sinh[A]dA

             H = ò (Sqrt(cosh²A-1)*sinhA)dA

Jetzt benützen wir, dass für die Einheitshyperbel cosh²A-sinh²A=1 gilt und erhalten so

             H = ò (sinhA*sinhA)dA

Dann setzen wir die Definition für den hyperbolischen Sinus ein, erhalten Exponentialfunktionen und integrieren diese

             H = ò (sinh²A)dA = ò [(1/2)*(e^A - e^-A]²dA =

             ò [(1/4)*(e^2A - 2e^Ae^-A +e^-2A)]dA = ò [(1/4)*(e^2A - 2 +e^-2A)]dA =

             (1/4)*[(1/2)*(e^2A - e^-2A) -2] = (1/4)*[(1/2)*(e^A + e^-A)*(e^A - e^-A) -2] =

             (1/2)*[(1/2)*(e^A + e^-A)*(1/2)*(e^A - e^-A) -2] =

An dieser Stelle gibt es mehrere Möglichkeiten weiter zu machen und die Rechnung abzuschließen: Wir führen die Rücksubstitutionen durch und setzen wieder coshA und sinhA ein, sodann x und y!

             = (1/2)*[coshA*sinhA - A] = (1/2)*[xy - A]

Damit ist das Integral für ein A berechnet, x und y hängen (bedingt durch cosh[A] und sinh[A]) nur von A ab. Wenn wir die Lösung des Integrals in den obigen Ansatz, der Fläche für den doppelten Hyperbelsektor einsetzen, erhalten wir

             H = xy - 2ò ₁ ^x y(x)dx = H = xy - 2* (1/2)*[xy - A] = A

Damit ist gezeigt, dass die Fläche des doppelten Hyperbelsektors unser Parameter A ist. Die beiden Areafunktionen Arcosh[x] und Arsinh[y] drücken A in Abhängigkeit von x oder y aus!







Weiter geht's; ......schon etwas anspruchsvoller!