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1.2 Die Ordnung der rellen Zahlen
Die reellen Zahlen kann man mit einer Relation a£ b ordnen, in dem man festlegt, dass a £ b dann und nur dann gilt, wenn 0 £ b - a . a < b bedeutet dann, dass (a £ b) Ù(a ¹ b) ist. Man kann sehr leicht zeigen, dass diese Beziehung des "grösser gleich" eine Teilordnung ist und das zweitens diese Teilordnung selbst eine vollständige Ordnung darstellt. (Überprüfe es für Dich selbst !).
Graphisch lässt sich für zwei beliebige reelle Zahlen immer zeigen, dass entweder a£ b oder b£ a gilt, in dem man die Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden interpretiert und sagt, die Relation a£ b bedeutet graphisch, dass der Punkt Pa der Zahl a links des Punktes Pb der Zahl b liegt.
Man sieht dass -6 kleiner als 5 ist, oder -6 £ 5 , da 0 £ 5 - (-6) = 11.
a ist also immer entweder "kleiner gleich" oder "grösser gleich" b. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht (tertium non datur !). Die Vollständigkeit der Ordnung der reellen Zahlen bedeutet, dass man alle rellen Zahlen im Sinne der angegebenen Relation miteinander vergleichen und ordnen kann. Diese vollständige Ordnung nennt man auch linear, weil daraus folgt, dass man alle Zahlen auf einer Geraden linear anordnen und miteinander vergleichen kann.
Nicht alle Zahlen lassen sich ordnen. Für die komplexen Zahlen z.B. lässt sich keine derartige Relation angeben, so dass gilt z1£ z2. Man kann komplexe Zahlen nur dem Betrag nach oder dem Winkel nach ordnen (s. Abschnitt über komplexe Zahlen), was aber in der Praxis unüblich ist.