Wendestellen und Wendepunkte

1) Definition

Sei f eine reelle Funktion. Eine Stelle p heißt Wendestelle von f, wenn sich and der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert.
Der Punkt (p|f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f, die Tangente an den Graphen in diesem Punkt heißt Wendetangente.

Im Intervall [-1, 1] ist f rechtsgekrümmt, im Intervall [1, 3] ist f linksgekrümmt. Genau bei dem Punkt (1|0) ändert f sein Krümmungsverhalten.

2) Notwendige Bedingung für Wendestellen

Satz: 

Ist p eine Wendestelle einer Polynomfunktion f, dann ist f’’(p)=0.

Beweis: Ist p eine Wendestelle von f, dann ist p eine lokale Extremstelle von f’. 
	 Daraus folgt notwendigerweise (f’)’(p)=0, also f’’(x)=0.

Beachte: Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht!
	  Ist f’’(p)=0, so folgt nicht unbedingt, dass p eine Wendestelle von f ist.

3) Berechnung des Wendepunktes

Wir betrachten zum leichteren Verständnis folgendes Beispiel:

f(x)=(x^3)-6(x^2)+9x-4

Zunächst berechnen wir die 1. und 2. Ableitung von f:

f’(x)=3(x^2)-12x+9
f’’(x)=6x-12

Nun berechnen wir die Nullstellen von f’’:

f’’(x)=0 ⟺6x-12=0 ⟺ x=2

Durch die Nullstelle von f’’ wird der Definitionsbereich von f in die Intervalle (-∞, 2] und [2, ∞) unterteilt.
Nun ermitteln wir die Art der Krümmung, die in den beiden Intervallen vorliegt:

f’’(0)=-12 < 0  und f’’(3)=6 > 0 

Nach dem Krümmungssatz ist somit f in (-∞, 2] rechtsgekrümmt und in [2, ∞) linksgekrümmt.
Da f an der Stelle 2 das Krümmungsverhalten ändert, ist 2 die Wendestelle von f.

Der Wendepunkt lautet: W=(2|f(2))=(2|-2).

Um nun die Wendetangente aufzustellen, benötigen wir die Steigung in dem Punkt W.
Diese erhalten wir wie folgt:

k=f’(2)=-3
Der dazugehörige Richtungsvektor lautet also (1|-3).
Wir wollen die Tangent in Normalform aufstellen, also benötigen wir den Normalvektor (3 |1).
⟹ t: 3x+y=3*2+1*(-2) ⟺ 3x+y=4

Betrachten wir uns nun die Zeichnung

Wir sehen: Unsere Berechnung trifft zu, f ist links von der Stelle x=2 rechtsgekrümmt, ändert bei der Stelle sein Krümmungsverhalten und ist ab der Stelle x=2 linksgekrümmt.