Das Monotonieverhalten einer Funktion

1. Erklärung

Die Steigung einer Funktion kann auf bestimmte Intervalle betrachtet werden.
	Nehmen die y-Werte mit zunehmenden x-Werten zu, so nennt man die Funktion auf diesem Intervall monoton steigend. 
	Nehmen die y-Werte mit zunehmenden x-Werten ab, so nennt man die Funktion auf diesem Intervall monoton fallend. 
	
Als Beispiel nehmen wir die Funktion

f[x_]=(x^2)-2;

Die Funktion f(x)=x²-2 ist also auf dem Intervall (-∞,0) monoton fallend
und auf dem Intervall (0,∞) monoton steigend.

2. Berechnung der Monotonie

Da man bei Funktionen höheren Ranges nicht sofort auf die Monotonie schließen kann, benötigt man eine Art der Berechnung.
Hilfe liefert dabei die 1. Ableitung der Funktion.

Sind die y-Werte der 1. Ableitung f’(x) auf einem Intervall größer als 0, so ist die Steigung der Funktion f auf diesem Intervall positiv. Das bedeutet, die Funktion ist auf diesem Intervall monoton steigend.

Sind die y-Werte der 1. Ableitung f’(x) auf einem Intervall kleiner als 0, so ist die Steigung der Funktion f auf diesem Intervall positiv. Das bedeutet, die Funktion ist auf diesem Intervall monoton fallend.

Als Beispiel dient wieder die Funktion f(x)=x²-2 .
Die 1. Ableitung dieser Funktion lautet f’(x)=2x.

Die y-Werte von f’(x) sind bis zu der Stelle x=0 negativ ⟹ Die Steigung der Funktion f(x) ist bis zu der Stelle x=0 negativ, also ist f monoton fallend.
Die y-Werte von f’(x) sind ab der Stelle x=0 positiv ⟹ Die Steigung der Funktion f(x) ist ab der Stelle x=0 positiv, also ist f monoton steigend.

3. Zusammenfassung

Man kann also folgende Bedingung als Satz zusammenfassen:

(1) Ist f’(x)>0 für alle x ∈ Intervall, dann ist f (streng) monoton steigend in diesem Intervall.
(2) Ist f’(x)<0 für alle x ∈ Intervall, dann ist f (streng) monoton fallend in diesem Intervall.