Die Krümmung einer Funktion

1) Einleitung

In diesem Abschnitt lernen wir, wie man rechnerisch feststellen kann, nach welcher Seite ein Funktionsgraph gekrümmt ist.

In diesem Fall nennt man die Funktion auf dem Intervall [-1,1] linksgekrümmt. Man stelle sich vor, der Graph entspreche einer Straße und ein Auto müsse die Kurve durchfahren. Dazu müsste der Fahrer das Lenkrad nach links drehen.

In diesem Fall nennt man die Funktion auf dem Intervall [-1, 1] rechtsgekrümmt. Man stelle sich vor, der Graph entspreche einer Straße und ein Auto müsse die Kurve durchfahren. Dazu müsste der Fahrer das Lenkrad nach rechts drehen.

2) Definition

Es sei f eine Funktion und f’ ihre Ableitung. Weiters sei I ein Intervall.
Die Funktion f heißt:
		- linksgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton steigend in I ist,
		- rechtsgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton fallend in I ist,
		- einheitlich gekrümmt in I, wenn f’ in I entweder links- oder rechtsgekrümmt ist.

Zum leichteren Verständnis betrachten wir folgendes Beispiel:

Sei f(x)=(x^2)-x+1 und I=[-1,3].
Dann ist f’(x)=2x-1

Wir sehen: f’(x) ist auf dem Intervall streng monoton steigend ⟹ f ist auf dem Intervall linksgekrümmt

Wir sehen : f' (x) ist auf dem Intervall streng monoton fallend ⟹ f ist auf dem Intervall rechtsgekrümmt

3) Satz zur Berechnung der Krümmung

Die Krümmung der Funktion lässt sich also durch das Monotonieverhalten der 1. Ableitung bestimmen.
Wie wir bereits gelernt haben, lässt sich die Monotonie einer Funktion durch ihre Ableitung berechnen.
Aus dem folgt folgender Satz (Krümmungssatz):

Sei f eine Polynomfunktion und I ein Intervall, dann gilt:
	
	(1) Ist f’’(x) > 0 für alle x ∈ I, dann ist f linksgekrümmt in I.
	(2) Ist f’’(x) < 0 für alle x ∈ I, dann ist f rechtsgekrümmt in I.

Wir betrachten dazu wieder unser Beispiel und zeichnen dazu die 2. Ableitung:

Wir sehen: f’’ ist eine konstante, positive Funktion ⟹ f’’(x) > 0 ∀x ∈ I ⟹ f’ streng monoton steigend auf I ⟹ f ist auf I linksgekrümmt.

Wir sehen : f'' ist eine konstante, negative Funktion ⟹ f'' (x) < 0 ∀ x ∈ I ⟹ f' streng monoton fallend auf I ⟹ f ist auf I rechtsgekrümmt.

4) Vorgehensweise zur Berechnung der Krümmung

Schritt 1: Berechnung der 1. und 2. Ableitung
Schritt 2: Einsetzen der Werte aus dem Intervall in f’’
Schritt 3: Betrachten der Funktionswerte f’’(x) und Bestimmen der Krümmung mit Hilfe des Krümmungssatzes.