Die Extremstellen einer Funktion

1) Globale Extremstellen

Extremstellen sind jene stellen, deren Funktionswerte an allen anderen Stellen nicht über- bzw. unterschritten werden.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:
	Sei f eine Funktion und p eine Stelle aus einem Intervall I.
	Dann:
		- liegt in p eine Maximumstelle vor, wenn ∀ (für alle) x ∈ I gilt: f(x) ≤ f(p)
		- liegt in p eine Minimumstelle vor, wenn ∀ x ∈ I gilt: f(x) ≥ f(p)

Liegt eine der beiden Eigenschaften vor, so ist p eine globale Extremstelle.

2) Lokale Extremstellen

Unter einer Umgebung U(p) versteht man ein beliebiges Intervall, das p als innere Stelle enthält.
Dann:
		- liegt in p eine lokale Maximumstelle von f vor, wenn es eine Umgebung U(p) gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist.
		- liegt in p eine lokale Minimumstelle von f vor, wenn es eine Umgebung U(p) gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist.

Betrachten wir zum leichteren Verständnis folgendes Beispiel:
Sei f(x)= 5(x^4)-2(x^2)+1

An den Stellen x=-2 und x=0 liegen lokale Extremstellen vor.
Wir wählen (Subscript[U, 1])=(-3,-1) und (Subscript[U, 2])=(-1,1).
In der Umgebung (Subscript[U, 1]) gilt: f(-2) ≥ f(x) ∀ x ∈ (Subscript[U, 1]) ⟹ Also liegt in x=-2 eine lokale Maximumstelle vor.
In der Umgebung (Subscript[U, 2]) gilt: f(0) ≤ f(x) ∀ x ∈ (Subscript[U, 2]) ⟹ Also liegt in x=0 eine lokale Minimumstelle vor.

3) Berechnung der Extremstellen

Bei Funktionen höheren Ranges lassen sich die Extremstellen nicht so leicht bestimmen.
Daher bedient man sich erneut der Eigenschaften der 1. Ableitung f’(x).

Satz:
Die (lokalen) Extremstellen einer Funktion f(x) findet man unter den Nullstellen der ersten Ableitung.

Ist p eine lokale Extremstelle einer Polynomfunktion f, dann ist f’(p)=0.


Betrachten wir uns diesen Satz an unserem vorherigen Beispiel:

Die Nullstellen von f’(x) liegen bei x=-2 und x=0. Diese Werte entsprechen auch den lokalen Extremstellen der Funktion.

4) Vorgehensweise

Um nun die Extremstellen einer Funktion zu berechnen gehen wir wie folgt vor:

Gegeben sei die Funktion 
f(x)= 2(x^3)-3(x^2)-12x+1

Zu Bestimmen sind nun die Extremstelle(n) der Funktion.

Schritt 1: Berechnen der 1. Ableitung

f’(x)=6(x^2)-6x-12

Schritt 2: “Nullsetzen” der 1. Ableitung und Lösen der Gleichung nach x.

6(x^2)-6x-12=0		/:6
(x^2)-x-2=0

(Subscript[x, 1,2])= ((1±(Sqrt[1+8]))/2)=((1±(Sqrt[9]))/2)=((1±3)/2)
(Subscript[x, 1])=2, (Subscript[x, 2])=-1

Also liegen in x=2 und x=-1 lokale Extremstellen vor.

Schritt 3: Rückeinsetzen der x-Werte in die ursprüngliche Funktion.

f(2)=-19 ⟹ E2=(2/-19)
f(-1)=8 ⟹ E1=(-1/8)

5) Hochpunkt, Tiefpunkt

Um zu ermitteln, ob es sich bei den Extrempunkten um eine Hoch- oder Tiefpunkt handelt, also um ein lokales Maximum oder Minimum,
setzt man die x-Werte in die 2. Ableitung f’’(x) ein.

	- Ist f’’(x) ≥ 0, so liegt an der Stelle x ein Tiefpunkt vor. ⟹ lokales Minimum
	- Ist f’’(x) ≤ 0, so liegt an der Stelle x ein Hochpunkt vor. ⟹ lokales Maximum
	
	
Fortsetzung des Beispiels:

Schritt 4: Einsetzten der x-Werte in die 2. Ableitung f’’(x).

f’’(x)= 12x-6

f’’(2)= 12 > 0 ⟹ E2 ist ein lokales Minimum.
f’’(-1)= -18 < 0 ⟹ E1 ist ein lokales Maximum.