Aufsuchen von Polynomfunktionen

In diesem Abschnitt lernen wir, wie man eine Termdarstellung einer Polynomfunktion auf Grund vorgegebener Bedingungen finden kann.

1) Beispiel

Beginnen wir zum leichteren Verständnis mit einem Beispiel.

Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat T = (3|1) als Tiefpunkt und die Steigung der Tangente im Punkt P = (0|1) beträgt 3.
Ermittle eine Termdarstellung dieser Funktion.

Die gesuchte Termdarstellung hat die Form:
	 f(x)=(ax^3)+(bx^2)+cx+d
Das schließen wir daraus, dass der Graph den Grad 3 hat.
Die Koeffizienten a, b, c und d sind zu bestimmen.
Weiters benötigen wir die 1. Ableitung:
	f'(x)=3(ax^2)+2bx+c
	
Aus der Angabe erhalten wir 4 Bedingungen:

Bedingung 1: Der Graph geht durch den Punkt (3|1) ⟺ f(3)=1
	        ⟹ 27a+9b+3c+d=1

Bedingung 2: Der Graph geht durch den Punkt (0|1) ⟺ f(0)=1
	        ⟹ d=1

Bedingung 3: 3 ist lokale Minimustelle von f ⟺ f’(3)=0
	        ⟹ 27a+6b+c=0

Bedingung 4: Die Steigung von f an der Stelle 0 ist 3 ⟺ f’(0)=3
	        ⟹ c=3

Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
	27a+9b+3c+d=1
		   d=1
27a+6b+c            =0
	        c             =3
	
Durch Lösen des Gleichungssystems ergibt sich:

a=(1/3),b=-2,c=3,d=1

Folglich lautet die Termdarstellung von f:

f(x)=(1/3)(x^3)-2(x^2)+3x+1

2) Zusammenfassung

Um also die Termdarstellung aufstellen zu können, müssen wir uns anhand der vorgegebenen Bedingungen die Koeffizienten errechnen.
Der Grad der Funktion gibt uns dabei an, wie viele Koeffizienten man benötigt, bzw. wie die allgemeine Termdarstellung der Funktion lautet.

Grad 1: f(x)=ax+b
Grad 2: f(x)=(ax^2)+bx+c
Grad 3: f(x)=(ax^3)+(bx^2)+cx+d
Grad 4: f(x)=(ax^4)+(bx^3)+(cx^2)+dx+e 
   .
   .
   .

Weiters muss die Anzahl der Bedinungen gleich der Anzahl der Koeffizienten sein, um eindeutige Lösungen zu erhalten.
Das heißt bei einer Funktion 3. Grades benötigen wir 4 Bedingung / 4 Gleichungen.