Die Inversion w = 1/z

Informatikprojekt
Fachhochschule Technikum Kärnten 

Betreuer
Andreas Pester    
Harald Habiger    

Autorin
Lydia Winkler     


in Zusammenarbeit mit dem Projekt "Neue Medien in der Mathematik-Ausbildung"

 

         Links: Applet | Theorie | Hilfe zur Bedienung des Applets  

Applet

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Theorie

Die komplexe Funktion f(z)=1/z  (Inversion)

Wenn z eine komplexe Zahl ungleich Null ist, so existiert die Inversion  w = 1/z

(1)

Aus Gleichung (1) lassen sich leicht der Real- und der Imaginärteil von w bestimmen.

                                          (2)

                                         (3)

Die Abbildung von Kreisen und Geraden

Von besonderem Interesse für diverse Anwendungen ist die Abbildung von Kreisen und Geraden durch f(z)=1/z. Jeder Kreis in der z-Ebene kann durch Gleichung (4) in (x, y) – Koordinaten beschrieben werden.

       (4)

Löst man unter Beachtung von (1) die Bestimmungsgleichung für Real- und Imaginärteil der Abbildung nach x und y auf, so erhält man:

                                                                   (5)

                                                                (6)

Dies eingesetzt in (4), erhält man die Gleichung (4) in der w-Ebene in (u, v) – Koordinaten.

      (7)

 

Wenn d = 0 und a = 0, so beschreibt (4) eine Gerade in der z-Ebene, die durch den Ursprung geht. In der w-Ebene ist das dann ebenfalls eine Gerade, die durch den Ursprung geht.

Allgemein lassen sich aus den Gleichungen (4) und (7) folgende Regeln ableiten:

Aus diesem Grund geht auch das Koordinatengitternetz x+d = 0 und y+d = 0 in die Kreise d(u2 + v2) + u = 0 und d(u2 + v2) - v = 0 über (siehe Abb. 1)

               Abb. 1: Inversion des Koordinatengitternetzes

Hilfe zur Bedienung

Übersicht

Das mitgelieferte Applet dient nun zur Visualisierung der komplexen Funktion, Inversion genannt.

Hierbei haben Sie die Möglichkeit

·        eine Gerade durch den Ursprung,

·        eine Gerade nicht durch den Ursprung,

·        einen Kreis durch den Ursprung,

·        einen Kreis nicht durch den Ursprung, sowie

·        ein Koordinatengitternetz

zu zeichnen.

Es bleibt dabei Ihnen überlassen, ob Sie eine der oben erwähnten Ausgangsfunktionen, mit Ausnahme des Gitternetzes, entweder in der z-Ebene oder in der w-Ebene zeichnen lassen. Es wird in weiterer Folge automatisch die Abbildung der von Ihnen gewählten Funktion jeweils in der anderen Ebene erstellt.

Kommen wir vorerst zu den Einstellungen, die Sie vornehmen müssen, um mit dem Applet arbeiten zu können.

Starten des Applets

Um das Applet korrekt darstellen zu können, benötigen Sie einen HTML-Browser, der normalerweise mit dem Betriebssystem mitgeliefert wird. Mögliche Browser sind z. B. Internet Explorer, Netscape Navigator, Opera usw.

1.      Entpacken Sie nun die mitgelieferte .zip-Datei in einen von Ihnen gewählten Ordner.

2.      Doppelklicken Sie die Datei „Inversion.html“, das Applet wird geöffnet (siehe Abb. 2) und Sie können nun die, unter Übersicht beschriebenen, Funktionen zeichnen lassen.

Abb. 2: folgende Darstellung erscheint, wenn Sie das Applet starten

Erklärung des Applets

Buttonleiste

In der Buttonleiste finden Sie einige Hinweise zur Nutzung des Applets, die sich auf mögliche zu lösende Aufgaben, Lösungen und den didaktischen Hintergrund beziehen.

Auswahl „in z-Ebene zeichnen“ oder „in w-Ebene zeichnen

Über diese Radiobuttons können Sie auswählen, in welcher Ebene die Ausgangsfunktion gezeichnet werden soll.  Diese Auswahl ist jedoch nur für die Zeichnung einer Geraden oder eines Kreises verfügbar und nicht für das Zeichnen des Koordinatengitternetzes. Das Koordinatengitternetz wird immer in der z-Ebene dargestellt, während dessen Inversion immer in der w-Ebene dargestellt wird.

Auswahl „Gerade zeichnen“, „Kreis zeichnen“, „Raster zeichnen“

Hierbei können Sie die Steigung unter „k =“ und den Abstand vom Ursprung unter „d =“ eingeben. Es sei darauf hingewiesen, dass Sie eine beliebige Steigung eingeben können für den Abstand vom Ursprung jedoch nur Zahlenwerte zwischen –10 und +10 erlaubt sind. Dies wird Ihnen auch neben dem Eingabefeld für den Abstand angezeigt, indem der Text „nur Zahlen im Bereich von –10 bis +10“ in den Vordergrund gestellt wird.

BEACHTEN SIE, DASS SIE NACH DER EINGABE DES GEWÜNSCHTEN WERTES DIE RETURN-TASTE BETÄTIGEN MÜSSEN, DAMIT DIESER WERT AUCH ÜBERNOMMEN WIRD.

Sollten Sie versehentlich einen Wert eingeben, der nicht diesem Bereich entspricht, wird der von Ihnen eingegebene Wert automatisch auf einen gültigen Wert geändert. D. h., sollten Sie z. B. 15 eingeben wird dieser Wert automatisch mit 10 überschrieben, und auch die weiteren Berechnungen und die Darstellung werden mit dem Wert 10 durchgeführt.

Abb. 3: Auswahl „Gerade zeichnen“

Die x-Koordinate des Mittelpunktes wird unter „xM =“ und die y-Koordinate des Mittelpunktes unter „yM =“ eingeben. Beachten Sie auch hierbei, dass nur Werte zwischen –10 und +10 für die Eingabe der Mittelpunktskoordinaten erlaubt sind.

Den Radius können Sie unter „r =“ eingeben, wobei hier nur eine Eingabe von ganzen Zahlen zwischen 0 und 10 erlaubt ist. Sollten Sie keine ganze Zahl eingeben, wird der von Ihnen eingegebene Wert gerundet.

Abb. 4: Auswahl „Kreis zeichnen“

Die vertikalen (roten) Linien werden durch die Inversion in die roten Kreise und die horizontalen (blauen) Linien in die blauen Kreise abgebildet. Hierbei gilt, dass je größer der Kreis, desto näher liegt die Koordinatengitterlinie beim Ursprung.

Des Weiteren werden die vertikalen Gitternetzlinien der linken Halbebene in Kreise der linken Halbebene abgebildet. Die vertikalen Gitternetzlinien der rechten Halbebene werden somit in Kreise der rechten Halbebene abgebildet. Die Gitternetzlinie, die entlang der y-Achse verläuft wird wiederum in eine Gerade, die entlang der y-Achse verläuft, abgebildet.

Die horizontalen Gitternetzlinien der oberen Halbebene, werden jedoch in Kreise der unteren Halbebene abgebildet und umgekehrt. Die Gitternetzlinie, die entlang der x-Achse verläuft wird wiederum in eine Gerade, die entlang der x-Achse verläuft, abgebildet.

Abb. 5: Auswahl „Raster zeichnen“

Visualisierung, der unter „Die Abbildung von Kreisen und Geraden“ angegebenen Regeln für die Inversion

 

Abb. 6: Visualisierung der Regel 1

Abb. 7: Visualisierung der Regel 2

Abb. 8: Visualisierung der Regel 3

Abb. 9: Visualisierung der Regel 4