Die arithmetische Form komplexer Zahlen - Definitionen und Rechenregeln Andreas Pester Fachhochschule Technikum Kärnten
pester@cti.ac.at Zusammenfassung: Kurze Einführung in den Begriff der komplexe Zahlen und erste Rechenregeln für den Umgang mit komplexen Zahlen. Diese Seite wurde für das Projekt nml erstellt.

Komplexe Zahlen - Inhaltsübersicht

Stichworte: Definition | Rechenregeln | Realteil | Imaginärteil | arithmetische Form | konjugiert komplexe Zahl | Betrag | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 | Formel 5 | Formel 6 | Beispiele 1 | Beispiele 2 Unter einer komplexer Zahl versteht man einen Ausdruck der Art z = x + y·i  x, y Î Â, i ist die imaginäre Einheit x wird als Realteil Re z der komplexen Zahl  z bezeichnet, y als der Imaginärteil Im z. Diese Form der Darstellung komplexer Zahlen nennt man die arithmetische Form. Die Menge der reellen Zahlen  ist dann eine Untermenge der komplexen Zahlen C, nämlich die Menge der komplexen Zahlen z, deren Imaginärteil y = 0 ist. Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + y1 ·i,  z2 = x2 + y2·i  sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen, formal: z1 = z2  Û  x1 = x2  und y1 = y2 Die Zahl z* =  x – y·i bezeichnet man als die konjugiert komplexe Zahl zu z =  x + y·i . Man addiert/subtrahiert zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + y1 ·i,  z2 = x2 + y2·i , indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert/subtrahiert z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i·(y1 ± y2). Beispiele: Man multipliziert zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + y1 ·i,  z2 = x2 + y2·i nach folgender Regel: z1· z2 = (x1·x2– y1·y2) + i·(x1·y2 + y1·x2) Man bezeichnet die Quadratwurzel aus z·z* =(x2 + y2) auch als den Betrag der komplexen Zahl und schreibt: |z| = Ö(x2 + y2) = Öz·z* Eine geometrische Interpretation des Betrages wird im Abschnitt Gauß'sche Zahlenebene gegeben. Auch die Division von komplexen Zahlen ist möglich. Dazu bedient man sich eines Kunstgriffes. Man fasst die Division als Bruchaufgabe auf und erweitert Zähler und Nenner des Bruches mit dem konjugiert komplexen Nenner. Dies nennt man das reell machen des Nenners einer komplexen Zahl. Anschließend teilt man einfach Real- und Imaginärteil durch den reellen Nenner: Beispiele: Für mathematisch Interessierte: Für die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen gelten die Eigenschaften der Kommutativität (Vertauschbarkeit der Operanden), der Assoziativität und das Distributionsgesetz für die Multiplikation (wie für die reellen Zahlen). Die Addition ist umkehrbar (inverses Element), ebenso ist die Multiplikation für alle komplexen Zahlen außer z = 0 umkehrbar. Das heißt, die Division ist für alle komplexen Zahlen erklärt außer für die Division durch Null. 0 ist das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation. Algebraisch gesprochen bilden die komplexen Zahlen einen Körper, der algebraisch abgeschlossen ist. Die reellen Zahlen sind ein echter Unterkörper des Körpers der komplexen Zahlen. Diese bilden den Erweiterungskörper (bzgl. der Nullstellen des Polynoms x2 + 1) des Körpers der reellen Zahlen.