Lotto 6 aus 45 und andere Lotteriespiele

Lotto 6 aus 45 ist eines der beliebtesten Glücksspiele in Österreich. In anderen Ländern gibt es Variationen davon (z.B. in Deutschland 6 aus 49, bekannt sind auch die
Euromillionen oder die Spanische Weihnachtslotterie).

(Quelle: Wikipedia)

Eine beliebte Frage ist dabei: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich einen Sechser? Einen Fünfer mit Zusatzzahl? usw."

Nun muss man erkennen, dass diese Frage eigentlich völlig irrelevant ist. Wie berücksichtige ich, dass ich im Falle eines Sechsers mit niemanden teilen muss? Oder doch mit 20 Personen?
Vielmehr geht es um den Erwartungswert eines Lottotipps. Und dieser hängt vom Einsatz und von der Auszahlungsquote ab.

Lotteriespiele waren seit jeher eine Geldbeschaffungsmaßnahme von Finanzministerien. Schon im 16.Jahrhundert gab es Losverkäufe, z.B. in England zur Finanzierung von Häfen
und Brücken. Genauso alt sind die Versuche, mittels geheimen Rechenpraktiken, Glücksnummern usw. das Glück zu erzwingen. Nur lässt sich ein solches System nicht überlisten:
Vom eingezahlten Geld wird eine gewisse Summe (meist um die 50%) einbehalten, der Rest wird wieder an die Lotterieteilnehmer ausbezahlt.

Betrachten wir das österreichische Lotto 6 aus 45: Auf der Website von Win2Day, dem Internetableger der Österreichischen Lotterien, finden wir in Paragraph 7 der Lottospielbedingungen
die relevanten Informationen:

"7.1 Für je einen Tipp hat der Teilnehmer den Preis von EUR 1,10 zu entrichten, der sich aus dem Wetteinsatz in Höhe von EUR 0,869 sowie einem Verwaltungskostenbeitrag in der
Höhe von EUR 0,231 zusammensetzt. Stellt die Gesellschaft Spielteilnehmern aus besonderem Anlass Gratistipps zur Verfügung, so dotiert die Gesellschaft die Gewinnsumme mit
48,8 % des Preises pro Tipp".  (Stand Dezember 2011)

Das bedeutet also, dass 48,8% der Gewinneinsätze wieder ausgespielt werden, in irgendeiner Aufteilung, die für den Erwartungswert irrelevant ist. Der Restbetrag wird als Steuer an das
Finanzministerium abgeführt und wird für die Organisation der Lotterie verwendet. Anders ausgedrückt, von jedem investierten Euro erhält man auf lange Sicht genau 48,8 Eurocent zurück.

Grundsätzlich sind Lotteriespiele Spiele (fast) ohne Einflussmöglichkeit. Veranschaulicht heißt das, dass man auch einen Affen die Kreuze machen lassen könnte, an der
Gewinnwahrscheinlichkeit würde sich nichts ändern. Warum steht hier fast? Nun gut, einen kleinen Trick gibt es: Da alle Kombinationen gleich wahrscheinlich gezogen
werden (so hat etwa die Ziehung {1,2,3,4,5,6} die gleiche Wahrscheinlichkeit wie ein "normal" aussehender Tipp wie etwa {3,11,23, 28, 35, 44}), kann man die
Tatsache ausnutzen, dass viele Leute Geburtsdaten oder Glückszahlen tippen. Wenn man also Zahlen wie 3,7 (Glückszahlen), 19 (Teil des Geburtsjahres), Zahlen in der
Mitte des Wettscheines usw. vermeidet (also ein "antizyklisches Tippverhalten" verfolgt), ist die Wahrscheinlichkeit größer, im Falle eines Gewinnes nicht mit anderen teilen
zu müssen. Dies beeinflusst den Erwartungswert aber nur marginal, insbesondere kommt man bei weitem nicht aus dem negativen Bereich heraus.

Natürlich nutzt wie auch etwa beim Roulette die Auswertung der gezogenen Zahlen nicht weiter. Da der Zufall kein Gedächtnis hat, und die nächste Ziehung unabhängig
von der vorherigen ist, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für beliebige Zahlen auch nicht. Hierzu ein bekanntes Beispiel anhand eines Würfels:

Ein Würfel wird 7 mal geworfen. Dabei zeigt er 7 mal die Sechs. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch beim nächsten Mal eine 6 gewürfelt wird?

a. ganz falsche Antwort: weniger als 1/6, da der Sechser nun schon so oft gekommen ist.
b. richtige Antwort: wieder genau 1/6, da es dem Würfel egal ist, welche Zahlen zuvor gekommen sind
c. perfekte Antwort: mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ist der Würfel manipuliert. Daher dürfte die Erwartung für einen 6er mehr als 1/6 betragen.

Lotterieziehungen laufen notariell beaufsichtigt ab, daher dürfte hier alles mit rechten Dingen zulaufen. Dennoch (oder gerade deswegen) zeigen sich große Unterschiede
bei der Anzahl der gezogenen Zahlen, wie folgende Abbildung beweist.

(Quelle: http://www.6richtige.at/at_soft/at_sta_graf.gif )

HINWEIS: Diagramme müssen immer mit einer gesunden Portion Misstrauen betrachtet werden. Was fällt Dir an diesem Diagramm auf? Verfälscht die Darstellung in irgendeiner Weise den vorgestellten Sachverhalt? Tipp: (markieren um zu lesen) < Betrachte die Skalierung! >

Schließlich helfen natürlich auch Tippgemeinschaften, Systemtipps o.ä. nicht, den Erwartungswert zu steigern. Zwar werden mehr Tippmöglichkeiten abgedeckt, im Falle
eines Erfolges muss aber natürlich auch der Gewinn geteilt werden. Vielmehr fallen Verwaltungskosten und Gebühren an (z.B. vom Tippgemeinschafts-Veranstalter), die
den Erwartungswert weiter sinken lassen.

Wer trotzdem neugierig geblieben ist: Die Wahrscheinlichkeit für einen Lottosechser beträgt 1/8 145 000 oder 0.0000123%.