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Heft: 15/2002

Zahlen, bitte!

Mathematik: Die große Renaissance der Mutter aller Wissenschaften

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Tausend Wagen südwärts
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Der Film "A Beautiful Mind" rückt die Mathematik, die fundamentalste aller Wissenschaften, wieder ins Blickfeld. Doch auch die Mathematiker korrigieren ihr Schrulli-Image und besetzen Schlüsselpositionen in der gesamten Forschung. Wie Zahlen und Formeln die Welt erklären - vom Flugzeugbau bis zu den Finanzmärkten.
Von Johanna Geissler und Alwin Schönberger


Test: Elementarer Umgang mit Zahlen
Sind Sie ein Mathematik-Talent?

Es begann damit, dass Peter Markowich das Gefühl hatte, für blöd verkauft zu werden. Als Teenager saß er im Mathe-Unterricht in einem Gymnasium im dritten Bezirk in Wien und wollte vom Lehrer mehr wissen als eine Antwort auf die Frage, wie man Tangenten an Kreise legt. Doch niemand vermochte seine Neugier zu befriedigen. "Wenn ich die Konzepte dahinter verstehen wollte, hat's jedes Mal geheißen, da musst halt auf die Uni gehen", sagt Markowich.

Der junge Wiener nahm den Rat an und studierte Technische Mathematik. Heute ist Peter Markowich, 45, Professor für Analysis am Institut für Mathematik der Universität Wien und gilt als Kapazität mit Weltformat. "Ein ganz eminenter Mathematiker mit internationalem Stellenwert", urteilt Arnold Schmidt, Präsident des Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF). Der frühere Hörfunkintendant Manfred Jochum wusste kürzlich bei einem Wissenschaftsevent: "Manche vergleichen ihn mit Einstein."

Markowich forschte und lehrte an Universitäten in Wisconsin, in Texas, an der TU Berlin, am Pariser Ecole Polytechnique, an der Purdue University. Zwölf Jahre war er im Ausland, bevor er nach Österreich zurückkehrte. 2000 wurde er hier mit dem mit knapp 1,5 Millionen Euro dotierten Wittgenstein-Preis ausgezeichnet - eine Art Austro-Nobelpreis für besondere wissenschaftliche Leistungen.

Ewiger Aufbruch

Markowich ist ohne Zweifel ein herausragender Protagonist seiner Zunft - nicht zuletzt aufgrund seines in der Branche sonst eher rudimentär ausgeprägten Talents, auch interessierte Laien zu begeistern. Wenn Markowich Formeln auf die Tafel malt, die Schönheit von Differenzialgleichungen erklärt, von der "universellen Sprache" der Mathematik schwärmt oder sich als "Grenzgänger und Entdecker in ewigem Aufbruch" charakterisiert, beeindruckt das den stursten Mathe-Muffel.

Zurzeit erhält Markowich bei der Popularisierung seiner Disziplin kräftige Unterstützung von verschiedensten Seiten. Selbst in traditionell wenig affinen Gebieten fördern Mathematiker Erkenntnisse zutage, die Aufmerksamkeit erregen. Ende März gaben mexikanische Mathematiker bekannt, Homers Odyssee mit statistischen Methoden untersucht zu haben. Die Analyse rhythmischer Strukturen des Epos zeige starke Schwankungen - und lege damit nahe, dass der Dichter sein Werk wohl nicht alleine verfasst habe.

Forscher der Columbia University in New York wiederum fanden eine mathematische Stütze für jenes Sprichwort, wonach die Welt ein Dorf ist: Wenn jeder Mensch im Schnitt 100 Bekannte hat, kommt bei der Berechnung heraus, dass man über sieben Ecken jeden Menschen auf der Welt kennt. Diese Theorie der Small-World-Networks ist auch praktisch relevant: Nach demselben Prinzip kann etwa die Ausbreitung einer Grippeepidemie prognostiziert werden.

Sogar in die Politik mischen sich Mathematiker ein, ohne dabei je vom Pfad der reinen Lehre zu weichen. Im August 2001 verlautbarte Julian Palmore von der University of Illinois, er halte das US-Raketenabwehrprogramm für nicht zielführend. Modelle der so genannten Spieltheorie hätten errechnet: "Sicherheit ist ein Placebo."

Jedenfalls scheinen die Zeiten vorbei zu sein, in denen Mathematik vorwiegend als weltfremde Zahlenakrobatik wunderlicher Formel-Fetischisten wahrgenommen wurde und etwa "Der Spiegel" von "leicht trotteligen Geistesriesen" schrieb. Im Gegenteil: Mathematik boomt wie selten zuvor.

Mathe-Renaissance

Den größten aktuellen Beitrag dazu hat der soeben mit vier Oscars ausgezeichnete Film "A Beautiful Mind" geleistet. Der Streifen erzählt vom Ringen des US-Mathematikers John Forbes Nash mit der Schizophrenie. Auch im Theaterstück "The Proof", dessen Autor David Auburn 2001 mit dem Pulitzerpreis bedacht wurde, ist der Protagonist ein dem Wahnsinn verfallener Mathematiker. In Wien war das Stück bis vor kurzem im Vienna English Theatre zu sehen.

Außerhalb der Kunstwelt widmet sich zum Beispiel der Gießener Mathematiker Albrecht Beutelspacher intensiv der Image-Korrektur seiner Fachrichtung. Bis Oktober dieses Jahres will Beutelspacher in Gießen das erste Mathematik-Museum der Welt eröffnet haben.

Lobenswert zu erwähnen wären weiters jene Frohnaturen der Forschung, die mit durchaus unterhaltsamen Experimenten danach trachten, der Jugend die Scheu vor sperrigen Zahlen zu nehmen. So startete im Vorjahr Robert Matthews von der Aston University in Birmingham einen landesweiten "Tumbling Toast Test" zur Klärung der brennenden Frage, ob vom Tisch purzelnde Brotscheiben tatsächlich gerne auf die Butterseite fallen. Insgesamt 150.000 britische Schulkinder wurden aufgerufen, unter Einsatz beachtlicher Mengen Toastbrot und Butter zum Experiment zu schreiten.

Matthews ist bei seiner Mathe-Marketing-Mission auch sonst nicht um medial leicht transportable Problemstellungen verlegen. Unter anderem gab er bekannt, jene Vermutung streng wissenschaftlich prüfen zu wollen, die besagt, dass man grundsätzlich immer in jener Schlange angestellt steht, die am langsamsten vorankommt. Seine Botschaft: "Mathematik kann Spaß machen."

Von Laien ohne Schwierigkeiten rezipierbar ist auch folgende von Nick Trefethen von der Oxford University aufgeworfene Frage: Wie oft muss ein Spieler die Karten mischen, bis keiner mehr weiß, wo sich welche Karte befindet? Antwort: sechsmal. Trefethen bewies dies mit mathematischen Analysen, die zeigten, wie man ein bestimmtes Muster verändern muss, um es unkenntlich zu machen. Um reinen Jux handelt es sich nicht: Nach demselben Prinzip könnten Aktienmärkte analysiert werden.

Und in Wien setzt Markowich gerade sein bisher größtes Projekt um. Ausgestattet mit zwölf Millionen Euro aus Mitteln des FWF und der EU hat er das Wolfgang-Pauli-Institut ins Leben gerufen, das zum Zentrum für internationale Spitzenforschung in theoretischer und angewandter Mathematik werden soll - und zugleich eine Schnittstelle für verschiedene wissenschaftliche Disziplinen, in die mathematische Erkenntnisse einfließen. Die offizielle Gründung des Elite-Instituts fand im April 2001 statt, inzwischen gibt es zwölf Mitglieder - darunter vier Träger des Wittgenstein-Preises.

Elite-Institut

Ein Projektziel ist es, im Rahmen dieses Forschungsverbundes den Stellenwert der Mathematik zu fördern. "Mir geht es darum, die großen Zusammenhänge herzustellen", sagt Markowich. "Im 21. Jahrhundert ist es wieder enorm spannend, Mathematiker zu sein. Die Mathematik ist heute die Schaltstelle der Wissenschaft."

Mit dieser Sichtweise knüpfen die Wiener an die ursprünglichste aller Auffassungen von Mathematik an. Das griechische Wort "Mathema" bedeutet schlicht Wissenschaft - und diente als Oberbegriff für Wissenschaften generell. Eine Definition lautet: Die Mathematik sei ein "in sich abgeschlossener Mikrokosmos, der jedoch die starke Fähigkeit zur Widerspiegelung und Modellierung beliebiger Prozesse des Denkens und wahrscheinlich der ganzen Wissenschaft überhaupt besitzt". Ein Lehrbuch nennt die Mathematik schlicht "das mächtigste Instrument des menschlichen Geistes".

Mathematische Erfordernisse wie Zählen und Messen gehören freilich auch zu den ersten Problemen der Menschheit. Die ältesten bekannten Kerbhölzer wurden vor rund 50.000 Jahren angefertigt. Im Gebiet des heutigen Irak wurden 9000 Jahre alte Kugeln gefunden, die einst in einem Behälter einer Warenladung beigefügt worden waren, um mit der Anzahl dieser Kugeln den Umfang einer Lieferung definieren zu können. Als erste Hochkultur kannten die Sumerer vor rund 5000 Jahren Zahlensymbole. Tausend Jahre später führten die Ägypter Bruchrechnungen durch, und in Mesopotamien wurden lineare Gleichungen gelöst.

Große Griechen

Zur wirklichen Wissenschaft wurde die Mathematik im antiken Griechenland. Als deren Vater gilt Thales von Milet, der um 600 vor Christus geometrische Sätze bewies. In der Folge entwickelten Pythagoras und seine Schüler wichtige Fundamente wie Arithmetik und Geometrie. Das bedeutendste Werk der Antike schrieb um 300 vor Christus Euklid - seine "Elemente" sollten für zwei Jahrtausende zum Standardwerk der Geometrie werden. Als größter Mathematiker des Altertums gilt Archimedes, von dem unter anderem die erste theoretische Berechnung der Kreiszahl Pi stammt.

Die großen Entdeckungen der nachchristlichen Zeit begannen mit dem 17. Jahrhundert - und sind mit Namen wie Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz oder Carl Friedrich Gauß verknüpft. Spätestens im 20. Jahrhundert jedoch konnte die Öffentlichkeit mit den plastischer wirkenden Erkenntnissen aus Physik, Biologie oder Medizin offenbar mehr anfangen als mit bloßem Zahlenwerk.

Besonders heftig stemmten sich die Mathematiker ihrem wachsenden Schrulli-Image nicht entgegen. Kolportiert wurden vielmehr schräge Zitate wie jenes des ungarischen Mathematikers Paul Erdös, der gerne gesagt haben soll: "Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt." Ein Klassiker ist das Urteil des deutschen Mathematikers David Hilbert über einen einstigen Assistenten, der Dichter geworden war: "Für die Mathematik hat ihm ohnedies die Fantasie gefehlt."

In dieses Bild passt auch die Tatsache, dass es nicht einmal einen eigenen Nobelpreis für diese Disziplin gibt. Eine Erklärung dafür, die freilich im Gerüchtebereich anzusiedeln ist, besagt, dass sich Alfred Nobel damit an jenem Mann rächen wollte, der mit seiner Geliebten, der Wienerin Sophie Hess, durchgebrannt war - der Kerl soll just Mathematiker gewesen sein. Profanere Theorien gehen allerdings davon aus, dass ein damaliger Zirkel bedeutender Mathematiker eine eigene Preis-Kategorie als nicht zielführend ablehnte.

Dass gerade in Österreich auch in den vergangenen Jahrzehnten Mathematiker mit Weltruf forschten, sprach sich außerhalb der Insider-Gemeinde kaum herum. Einer dieser Experten ist der Innsbrucker Leopold Vietoris, der im Vorjahr 110 Jahre alt wurde und Mitbegründer der Topologie ist. Als Legende seiner Disziplin gilt auch der Wiener Mathematiker Edmund Hlawka, ein Schüler von Kurt Gödel.

Doch nun rücken die Mathematik und ihre Vorzüge wieder ins Blickfeld - nicht zuletzt aufgrund der rasant zunehmenden Leistungsfähigkeit der Computertechnik, deren Fortschritt früher oft mit dem Ende der Mathematik gleichgesetzt worden war. Das Gegenteil scheint nun der Fall zu sein: Gerade neueste Superrechner dienen als probates Instrument, um mathematische Grundsätze praktisch anwenden zu können - von der Architektur über den Maschinenbau bis zur Finanzwelt.

Mathematik-Design

Eines dieser Einsatzgebiete ist mathematisch optimiertes Design von Bauteilen. Mithilfe leistungsstarker Rechner arbeiten Mathematiker der Universität Erlangen-Nürnberg an der Verbesserung von Strukturen und Materialien für Brücken, Häuser, Autos oder Flugzeuge. Mit hoch komplexen Gleichungen, die hunderttausende von Nebenbedingungen berücksichtigen, berechnen Computer die entsprechenden Werkstücke. "Es passiert Unglaubliches", schwärmte Herbert Hörnlein, Optimierungsexperte bei DaimlerChrysler Aerospace. Erste Flugzeuge des DASA-Konzerns sind bereits mit derart mathematisch designten Teilen ausgestattet.

Ebenfalls auf modernster Computertechnik beruhen jene Rechenalgorithmen, die Mathematiker der University of Illinois entwickelten und die bis zu 9,6 Millionen unbekannte Variable verarbeiten können. Die Algorithmen dienen der Verbesserung wissenschaftlicher Analysen - etwa zur Untersuchung von Strahlungsphänomenen.

Mit einem speziellen Algorithmus machten sich im Vorjahr auch zwei britische Forscher an die mathematische Überprüfung einer der bedeutendsten Sicherheitstechniken der Zukunft: Sie konnten anhand von mehr als zwei Millionen Bildern bestätigen, dass biometrische Iriserkennung tatsächlich so gut wie fälschungssicher ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Iris zweier Menschen übereinstimmt, so die Mathematiker, liege bei eins zu sieben Billionen.

Eine immer wichtigere Rolle könnten mathematische Grundsätze künftig bei der Prognose von Naturkatastrophen spielen. Anfang Februar präsentierte der an der Yale-Universität forschende Mathematiker Benoit B. Mandelbrot eine Methode zum Aufspüren von Ordnungsparametern in komplexen chaotischen Systemen - zu denen auch Wirbelstürme, Überschwemmungen oder Vulkanausbrüche zählen. Benoit nutzt dazu die von ihm begründete Fraktalmathematik, mit der außergewöhnlich komplexe Geometrien der Natur beschrieben werden können.

Die Gesetzmäßigkeiten fraktaler Mathematik sowie der so genannten Extremwertstatistik nutzt auch ein Team um den Physiker Yonathan Shapir. Im Oktober des Vorjahres publizierten die Forscher ein Modell zur Vorhersage von Schwachstellen in Oberflächen verschiedener Materialien. Auf diese Weise soll zum Beispiel errechnet werden können, mit welcher Wahrscheinlichkeit wann und wo auf einem Stahlträger Roststellen entstehen.

Zahlen der Natur

Auch in der Biologie, so postulierte Ende des Vorjahres der britische Mathematiker Ian Steward, könne die Mathematik viele Prozesse erklären. Die wesentlichen Prinzipien würden dabei Symmetrie, Dynamik und Chaos lauten. Unter Verwendung der Spieltheorie konnte kürzlich etwa das Thema Kooperation und Teambildung in der Tierwelt dargestellt werden.

Die Grundannahme, die per Computersimulation durchgespielt wurde: Kooperation lohnt, wenn zwei Individuen gemeinsam mehr Gewinn machen als die Summe jener Gewinne, die jedes Individuum alleine machen würde - zum Beispiel bei der Beutejagd. In weiterer Folge wurde mathematisch überprüft, unter welchen Bedingungen sich Tiere fair verhalten und dadurch voneinander profitieren. Nach ähnlichen mathematischen Mustern sind jedoch auch Analysen des Verhaltens im Geschäftsleben möglich.

In der Wirtschaft finden mathematische Modelle inzwischen in vielen Bereichen Anwendung. So befasst sich der Wiener Finanz- und Versicherungsmathematiker Walter Schachermayer unter anderem mit den Gesetzen des Wettbewerbs auf den Finanzmärkten. Seine Modelle machen es möglich, wie er sagt, etwa bei Optionsgeschäften "das Risiko wegzukürzen". Bank- und Versicherungsexperten zählen denn auch längst zu den emsigsten Lesern seiner Arbeiten. "Banken kommen heute ohne mathematische Modelle nicht aus", so Schachermayer, "wissenschaftliche Entwicklungen sind unmittelbar praxisrelevant."

Von durchaus praktischer Bedeutung ist heute auch eine vordergründig sehr theoretische Entdeckung, die bereits 1938 gemacht wurde - Benfords Gesetz, das besagt, dass die Zahl eins, egal wo, am häufigsten vorkommt. Die mathematische Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine beliebige Ziffernfolge mit eins beginnt, beträgt 30 Prozent. Die zwei tritt nur noch mit einer Häufigkeit von 18 Prozent auf, die neun mit 4,6-prozentiger Häufigkeit.

Diese Tatsache ist auf breites Interesse gestoßen, seit der US-Mathematiker Mark Negrini entdeckte, dass sie auch für Steuererklärungen gilt - und zwar nur dann, wenn diese nicht gefälscht sind. Wer hingegen die Finanz betrügt, denkt sich irgendwelche Zahlen aus, für die dann Benfords Gesetz nicht mehr stimmt. In weiterer Folge entwickelte Negrini eine Software, die von US-Steuerbehörden bereits angewendet wird.

Universalsprache

Eines der Hilfsmittel bei der Untersuchung solcher Prozesse ist die Simulation - eine von der jeweiligen Aufgabenstellung nahezu unabhängige Methode der Darstellung komplexester Abläufe. Mittels Simulation lassen sich Wasserströmungen ebenso berechnen wie die Ausbreitung von Infektionskrankheiten oder Klimaphänomenen. Die wichtigste mathematische Sprache dafür sind Differenzialgleichungen - erfunden von Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert und heute auch für Peter Markowich eines der bedeutendsten Forschungsinstrumente. Differenzialgleichungen gehorchen einem immer gleichen Prinzip: Sie beinhalten physikalische Größen und deren Veränderungen in Bezug auf Raum und Zeit. Damit können die verschiedensten Parameter zueinander in Beziehung gesetzt werden. Während physikalische Vorgänge inzwischen oft recht einfach zu berechnen sind, stellt die Biologie Mathematiker vor eine größere Herausforderung.

Deshalb verfeinern Markowich und sein Kollege Christian Schmeiser von der TU Wien zurzeit Modelle, die ursprünglich für die Gasdynamik verwendet wurden, um zu beschreiben, wie sich Bakterien im Raum anhand von Konzentrationen bestimmter Substanzen orientieren. Bei der Simulation werden für die Gleichungsvariablen Bakterienzahlen und Stoffkonzentrationswerte eingesetzt. Ergebnis dieser Arbeit könnte der Nachweis sein, dass Mikroorganismen über eine Art Gedächtnis verfügen, um Veränderungen in der Umwelt zu registrieren.

Beispielsweise bilden Bakterien an Stellen, an denen bestimmte Lockstoffe vorhanden sind, Kolonien. Leukozyten wiederum werden durch solche Stoffe veranlasst, sich auf Infektionserreger zu stürzen.

Vom Verständnis solcher Mechanismen sind wichtige Fortschritte zu erwarten. In der Stammzellenforschung wäre damit die Frage beantwortet, was Stammzellen dazu bewegt, sich dorthin zu begeben, wo sie gebraucht werden, um ein Organ zu bilden. Molekularbiologen könnten aufgrund solcher Erkenntnisse gezielt Antibiotika entwickeln oder Organe züchten.

Spitzenforschung

Im Rahmen des neuen Wolfgang-Pauli-Instituts sollen internationale Forscher mit vereinten Kräften nun die Klärung solcher Fragen vorantreiben. "Österreich ist zwar ein kleines Land mit einer kleinen Spitze hoch begabter Wissenschafter", sagt Markowich. "Aber durch gute internationale Vernetzung ist das weniger ein Manko als die Chance, zum Angelpunkt in der internationalen Spitzenforschung zu werden." Die EU habe bereits signalisiert, dass Wien "bestens positioniert ist, Europas Spitzenzentrum für Mathematik zu werden".

Dennoch stehen die Mathematiker gerade vor einem sehr österreichischen Problem - weil die Fördergelder für Personalausgaben zweckgebunden sind, können sie nicht in Forschungsräume investiert werden. Folge: Es gibt keine Räume. Öffentliche Unterstützung sei noch nicht in Sicht.

Und so sitzt Markowich, der Mann, der bereits mit Einstein verglichen wurde, gemeinsam mit einer Assistentin und einem Gastforscher der Chinesischen Akademie der Wissenschaften zurzeit in einem spartanischen Bürozimmer.

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