Das Konzept der Lernpfade
in der Mathematik-Ausbildung

Franz Embacher
Institut für Theoretische Physik der Universität Wien

WWW: http://www.ap.univie.ac.at/users/fe/
E-mail: fe@ap.univie.ac.at

Mathematik und Mathematik Lernen

Sinnvolles Lernen von Mathematik ist in sehr starkem Ausmaß mit dem Ziel des Verstehens von (meist formalen und geometrischen) Zusammenhängen verbunden. Dieses Ziel stellt sich umso dringender, als die Mathematik mit einem Paradoxon verbunden ist: Sie „funktioniert“ so gut, dass sie in den nützlichsten ihrer Endprodukte (z.B. in Formeln oder Algorithmen) kaum mehr sichtbar ist. Das hat seit je her Lehrende wie Lernende dazu verleitet, sich auf das Erlernen von mehr oder weniger unverstandenen Regeln zu beschränken.

Ab einem gewissen Grad der Anforderungen an fachliche Souveränität (z.B. im Umgang mit statistischen Methoden) und Kreativität (z.B. bei der Modellbildung) ist das Lernen von Rezepten jedoch zu wenig – hier setzt die Didaktik der Mathematik ein, um die begrifflichen und kognitiven Hintergründe der verschiedenen Schwierigkeiten beim Mathematiklernen zu analysieren und realistische Vorgangsweisen vorzuschlagen. Mit dem Konzept der Lernpfade, dem dieser Artikel gewidmet ist, wird versucht, einen Beitrag zu leisten, um Mathematik-Lernenden die Bewältigung der an sie gestellten Anforderungen zu erleichtern. 

Mathematische Stoffgebiete sind in der Regel stark aufbauend, die Inhalte werden zunehmend komplexer und vernetzter. Die vernetzte Struktur mathematischer Inhalte ist ein großer Teil zu lernenden Inhalte. Sie setzt der vom elektronischen Medien nahe gelegten „Modularisierung“ (ebenso wie dem Begriff des „Lernobjekts“) gewisse Grenzen und ist Ausgangspunkt der Idee der Lernpfade.

mathe online

Im Folgenden wird es um das Lernpfad-Konzept gehen, wie es im Rahmen der (seit 1998 gemeinsam mit Petra Oberhuemer aufgebauten) Web-Plattform mathe online

http://www.mathe-online.at/ 

realisiert ist. Die bis vor zwei Jahren entwickelten Lernhilfen können durch drei Stichworte charakterisiert werden:

•	Anschauung
Visualisierungen, dynamische Diagramme u. dgl. helfen bei der Ausbildung von Vorstellungen („Bildern“), die den Umgang mit formalen Strukturen erleichtern. Lernhilfen dieser Art sind in der Komponente „Galerie“ zu finden.

•	Begriff
Eine nach der Art eines die Möglichkeiten des elektronischen Mediums ausnützende „lehrbuchartige“ Darstellung von Inhalten findet sich in der Komponente „Mathematische Hintergründe“.

•	Kontrolle
Der Kontrolle und Selbstkontrolle, vor allem der Aufdeckung begrifflicher Missverständnisse, dient die Komponente „Interaktive Tests“.

Angebote dieser Art charakterisierten mathe online bis vor zwei Jahren in erster Linie als klassischen Materialienpool.

Gleichzeitig wurde mit mathe online der Versuch unternommen, innerhalb einer Plattform Lernhilfen zu entwickeln, die sich sowohl an den Schulbereich (AHS/BHS) als auch an Lehrende und Studierende in weiterführenden Ausbildungen an Universität/Fachhochschule richten. Damit soll zur Überbrückung der Kluft zwischen diesen beiden Ausbildungsbereichen beigetragen werden.

Lernpfade und das Open Studio

Nun können wir unser zentrales Thema ansprechen: Was sind Lernpfade?

•	Lernpfade stellen in gewisser Weise eine Antwort auf die (oder „Entschärfung“ der) Modularisierung dar.
•	In der Konzeption, die sich auf der Plattform mathe online findet, handelt es sich bei Lernpfaden hauptsächlich um Lernhilfen, die von Lehrenden für Lernende gestaltet werden.
•	Lernpfade dienen dazu, einzelne (ansonsten isolierte) Lernhilfen zu einem Ganzen zu integrieren und Lernprozesse zu organisieren.

Die im Rahmen von mathe online (zum Teil in Projekten mit Lehrenden verschiedener Ausbildungsbereiche) entwickelten Lernpfade stehen unter der Adresse

http://www.mathe-online.at/lernpfade/

zur Verfügung. Bei der Entwicklung des Konzepts wurden einfache Bedienbarkeit sowie größtmögliche methodische (pädagogisch-didaktische) und technische Offenheit des Systems angestrebt. Technisch gesehen, handelt es sich bei einem Lernpfad um eine Abfolge kommentierter Verweise auf unterschiedliche Materialien.

Zur Frage nach den Vorteilen des Arbeitens mit Lernpfaden lässt sich stichwortartig sagen:
 
•	Lernpfade können (durch geeignete „Arbeitsaufträge“) die Selbsttätigkeit der Lernenden unterstützen.
•	Sie können längerfristige Lernprozesse und Gedächtnisleistungen unterstützen.
•	Das Konzept  berücksichtigt die Diversität der Ausbildungswege und Lehrmethoden, Lernpfade besitzen ein breites Einsatz-Spektrum.
•	Sie bieten eine einheitliche Einstiegsumgebung bei inhaltlicher und medialer Vielfalt.
•	Sie beinhalten im Idealfall kontextbezogene Information für die Lernenden:

-	„Externe“ Lernhilfen können von den Lehrenden mit eigenen Aufgabenstellungen verbunden werden.
-	Lernhilfen können kommentiert werden (z.B. um Mängel abzufangen).
-	Der Anwendungsbezug kann kontextualisiert werden.

•	Lernpfade erzwingen tendenziell Transparenz: Offenlegung von Lernstoff, Lernzielen (angestrebte Kompetenzen), Schwierigkeitsgrad, Spielregeln.
•	Lernpfade sind für Lernende immer verfügbar.
 
Weiters können Lernpfade Elemente des Fernlernens unterstützen (projektartiges Arbeiten, Prüfungsvorbereitung, eigenständiges Wiederholen, Nachlernen von Versäumtem, Nachlernen von Stoff in späteren LVAen/Bildungswegen, Nachlernen von Stoff im späteren Berufsleben).

Die Einsatzformen von Lernpfaden umfassen ein breites Spektrum, von der Unterstützung von Lehrveranstaltungen und der Organisierung projektartiger Phasen in der Lehre über die (durchaus auch längerfristige) Bereitstellung von Ressourcen bis zur Nutzung durch Studierende zur Wiederholung oder als Selbstlernmodule („Crash-Kurse“). Neben der Arbeit mit einem Lernpfad können Lernende in sogenannten „Lerntagebüchern“ ihre eigene Tätigkeit dokumentieren. Schließlich können Studierende einander in Foren austauschen.

Wichtig ist, zu betonen, dass Lernpfade keine bloße „Aneinanderreihung vorgefertigter Module“ sind. Zwischen der didaktischen Qualität (erfolgreiche Vermittlung von Zusammenhängen), den medialen Verlockungen einer Modularisierung von Inhalten (die der Explizierung von Zusammenhängen tendenziell gefährlich werden kann) und den Interessen und Bedürfnissen der Lehrenden besteht ein gewisses Spannungsverhältnis, das in der Natur der Sache liegt. Darin, mit diesem Spannungsverhältnis in produktiver Weise umzugehen, besteht die eigentliche didaktische Herausforderung für Lehrende: Die Hauptsache bei der Entwicklung eines Lernpfads besteht nur oberflächlich gesehen in der Auswahl und Aneinanderfügung geeigneter Lernmaterialien (wie Visualisierungen und Tools). Bereits nach kurzer Erfahrung mit dem Konzept erwies sich die Gestaltung und innere Logik der Beschreibungstexte, die sich auf die einzelnen Materialien beziehen, als der entscheidende Punkt. Erst dadurch bekommt der „Pfad“ durch den Contentpool einen auf das Lernen bezogenen Sinn, und hierin liegt der Schlüssel zur didaktischen Qualität eines Lernpfads. Das gilt insbesondere dann, wenn Lernpfade zur Organisierung selbstgesteuerten, eigenverantwortlichen Lernens eingesetzt werden. Die Gestaltung eines Lernpfads ist im Kern der Versuch, herauszufinden, was gelernt werden soll und wie es am besten gelernt werden kann.

Lernpfade an Universitäten und Hochschulen

Das Konzept der Lernpfade bildete eine wichtiges vereinheitlichendes mediales Element im Rahmen des Projekts „Neue Medien in der Mathematik-Ausbildung“ (http://www.mathe-online.at/nml/), das im Herbst 2004 abgeschlossen wurde. Am Projekt war eine breite Palette verschiedener Fächer und Ausbildungswege (wie z.B. Lehramt-Mathematik, Hauptschullehrer-Ausbildung, technische Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Psychologie, Soziologie) beteiligt.

Obwohl unter den Lehrenden unterschiedliche Grade an IT-Vorwissen bestanden, waren die Erfahrungen mit der Entwicklung und dem Einsatz von Lernpfaden überwiegend positiv. Sie fanden insbesondere in tutoriell betreuten Übungen und Proseminaren Anwendung und wurden auch von den Studierenden gut angenommen.

Aus der Sicht der Lehrenden handelt es sich um ein leicht handhabbares Werkzeug zur Unterstützung verschiedener Aspekte der Lehre und hilft beim Überwinden des Übergangs von der Schulmathematik zur universitären Mathematik. Aus der Sicht der Studierenden wurde unter anderem als sehr positiv beurteilt, dass Lernpfade eine einheitliche Einstiegsumgebung bilden, in der Materialien dauerhaft („auf Abruf“) zur Verfügung gestellt werden.

Lernpfade im Schulbereich und die Initiative mathe online network

Im Schulbereich wurden Lernpfade seit dem Jahr 2002 im Rahmen des Projekts „Perspektiven für einen zeitgemäßen Mathematikunterricht“ (http://www.mathe-online.at/nww/) eingesetzt und getestet. Es nahmen Lehrende an zwei Gymnasien (5 Klassen) und einer pädagogischen Akademie (1 Lehrveranstaltung) teil, 7 Lernpfade wurden entwickelt. Der Unterricht mit Lernpfaden fand in projektartigen Phasen von einer bis mehreren Wochen (6 – 17 Unterrichtsstunden) statt, die Arbeit war meist in kleinen Gruppen organisiert. Die SchülerInnen konnten ihre Zeit mehr oder weniger frei einteilen und mussten am Ende eine Dokumentation abgeben. Schnellere SchülerInnen wurden als TutorInnen eingesetzt. Zuletzt fand eine Befragung der SchülerInnen mittels Fragebogen statt.

Die Erfahrungen aus der Sicht der LehrerInnen in Stichworten:

•	Selbstgesteuertes und eigenverantwortliches Lernen wurde gut unterstützt, SchülerInnen gewöhnen sich an die Notwendigkeit eines sinnvollen Zeitmanagements.
•	Wissenserwerb mit Hilfe eines Lernpfads ist nachhaltiger, aber nicht schneller !
•	SchülerInnen halfen einander, es herrschte eine konstruktive Arbeitsatmosphäre, die Dokumentationen waren teilweise überraschend gut.
•	Der Arbeitsaufwand für Lehrerinnen war höher als bei „normalem“ Unterricht, vor allem im Vorfeld.  
•	Die Hauptschwierigkeiten der SchülerInnen bestanden in der Beschreibung der eigenen Tätigkeit und im Umgang mit mathematischen Texten.

Erfahrungen aus der Sicht der SchülerInnen:

•	Die Arbeit mit Lernpfaden stellte eine interessante und kreative Phase dar, Abwechslung  und Eigenständigkeit wurden betont.
•	Der Arbeitsaufwand war auch in der Wahrnehmung der SchülerInnen merklich höher. Damit verbunden war der Wunsch, derartige Phasen „nicht zu oft“ vorzusehen.
•	Zu den schwierigsten Dingen gehörte die mathematische Sprache.

Im Jahr 2003 wurde im Rahmen eines weiteren Projekts die Initiative mathe online network (monk, http://www.mathe-online.at/monk/) gegründet. Ihr Ziel ist es, eine offene Community rund um das Thema Lernpfade aufzubauen, Hilfestellungen zu geben und Fortbildungsaktivitäten zu entwickeln. Seit 2004 wird mathe online in Kooperation m LehrerInnen für die Sekundarstufe 1 (Unterstufe) erweitert (http://www.mathe-online.at/mni/).

Literatur

•	http://www.mathe-online.at/literatur.html

•	http://www.mathe-online.at/nml/publikationen/

•	F.E., Lernpfade – Wege zu selbstgesteuertem Lernen
(9. Internationale Tagung über Schulmathematik, TU Wien, 2004)

•	F.E., Das Konzept der Lernpfade in mathe online
(6. Business Meeting des Forum Neue Medien, Universität Klagenfurt, 2003)

•	F.E., Neue Medien und die Vermittlung mathematischer Inhalte
(Vortrag am Institut für Mathematik der Universität Wien, 2003)

•	F.E. und Petra Oberhuemer, New Media in Mathematics Training
(ICL, Technikum Kärnten, Villach, 2002)