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5.1 Matrixdarstellung bzgl. Standardbasis (Rn)
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Unter der Standardbasis versteht man die sogenannten kanonischen Basisvektoren.
(z.B. im R³: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))
Da sich bei der Standardbasis (üblicherweise bzeichnet mit
e1,...,en) die Koordinatenvektoren de facto
nicht von den eigentlichen "echten" Vektoren unterscheiden, ergeben sich
Vereinfachungen:
Die lineare Funktion kann direkt als Matrix
geschrieben werden (vgl. Kapitel 4 Lineare Abbildungen).
Das Bild von e1 ist direkt die erste Spalte der Matrix,
das Bild von ej ist direkt die j-te Spalte der Matrix,
das Bild von en ist die n-te Spalte der Matrix.
Kennt man also die Bilder der (kanonischen) Basisvektoren, so kennt man (direkt) die
Matrix.
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5.6 Basiswechsel bei einer linearen Abbildung
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Ist eine lineare Abbildung durch eine Matrix gegeben, so hängt
diese Matrixdarstellung von der Wahl der Basen im Urbildraum
und im Bildraum ab.
Als Motivation: Die Wahl der speziellen Basis kann insofern interassant sein, als dass
die zugehörige Matrix eine besonders schöne Form (z.B. Diagonalform,
Blockform,...) hat.
Aus diesem Grund ist es sinnvoll und vorteilhaft, eine "Rechenvorschrift" zu finden,
die die Änderung der Basen im Urbildraum oder im Bildraum beschreibt.
f sei eine lineare Abbildung von V nach W
A1, A2 seien zwei Basen von V,
B1, B2 seien zwei Basen von W.
S sei die Matrix, die die Koordinatenvektoren bzgl.
A1 zu Koordinatenvektoren bzgl. A2
transformiert.
T sei die Matrix, die die Koordinatenvektoren bzgl.
B1 zu Koordinatenvektoren bzgl. B2
transformiert.
M1 sei die Matrix von f bzgl. A1 und B1,
also M1 = M(f,A1,B1).
Dann berechnet sich M2 (die Matrix von f bzgl.
A2 und B2),
also M2 = M(f,A2.B2) wie folgt:
M2= TM1S-1
(Hinweis: Bei dieser Rechenvorschrift handelt werden Matrizen multipliziert.
Die Multipliaktion von Matrizen entspricht der Hintereinfanderausführung
von Funktionen. Wie Matrizen multipliziert werden, vgl. z.B. Wikipedia
Matrizenmuliplikation)
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Aufgabe
Mache dir die Formel anhand von Skizzen klar.
Nach welcher Matrixanwendung befindet man sich in welchem
Raum bzw. bzgl. welcher Basis?
Wie sehen S bzw. S-1 und T bzw. T-1 aus, wenn
A-1 und B-1 die Standardbasen sind?
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