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2.1 Das Problem mit der negativen Wurzel
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Lösungsveruch in ℝ:
x²+4 = 0
x²=-4
x1,2=√-4
Die quadratische Gleichung x²+4 = 0 besitz keine Lösung in den bekannten Zahlenbereichen, da beim Lösungsversuch dieser Gleichung eine negative Wurzel auftauch.
Um diesem Problem zu entgehen, führen wir die Zahl i=√-1
⇒ √-4 = √4 · √-1 = 2 ·√-1 = 2i
Nun können wir x1 und x2 als komplexe Zahlen darstellen:
x1=2i x2=-2i
Lernstoff
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2.2 Potenzen von i:
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Für die Potenzen von i gilt:
i3 = - i weil i2·i = -i
i4 = 1 weil i2·i2 = 1
i5 = i weil i4·i = i
i6 = - 1 weil i4·i2 = -1
i7 = - i weil i4·i3 = -i
Lernstoff
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2.3 Grundlegende Eigenschaften komplexer Zahlen
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Zahlen der Art b·i mit b∈ℝ heißen (rein) "imaginäre Zahlen"
Zahlen der Art a+b·i mit a,b∈ℝ heißen "komplexe Zahlen"
Die reele Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl z=a+bi (a=Re z) - der Realteil wird durch das Symbol ℜ dargestellt
Die reele Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl z=a+bi (b=Im z) - der Imaginärteil wird durch das Symbol ℑ dargestellt
Komplexe Zahlen lassen sich in der Gauß'schen Zahlenebene darstellen. Jeder Zahl der Form a+bi wird ein Punkt auf der Ebene Â2 zugeteilt.
Die x-Achse wird als reele Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet.
Lernstoff
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2.4 Übung zur Gauß'schen Zahlenebene
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1)Zeichne die Gauß'sche Zahlenebene in dein Heft. Beachte die richte Beschriftung der Achsen!
2)Zeichne die gegeben komplexen Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene ein.
a) z1 = 4+3i b) z2 = 1-2.5i
c) z3= -¼+3i d) z4 = 1-√3·i
Überprüfe deine Zeichnung mithilfe von GeoGebra
Übungsaufgabe
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