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3.1 Quadratische Gleichungen
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Wir kennen bereits zwei Arten quadratischer Gleichungen:
1. ax2+bx+c=0 und 2. x2+px+q=0 (normierte quadratische Gleichung).
Und wir erinnern uns auch wie wir Gleichungen dieser beiden Formen lösen:
1. x1,2 = (-b+/-√(b2-4ac))/2a
2. x1,2 = -(p/2)+/-√(p2/4-q)
Der Term unter der Wurzel, die Determinante (D), entscheidet über die Anzahl der reellen und komplexen Lösungen:
- D > 0: 2 reelle Lösungen
- D = 0: 1 reelle Doppellösung
- D < 0: 2 komplexe Lösungen (die beiden Lösungen sind konjugiert komplex)
Geometrisch können wir das folgendermaßen deuten:
die zugehörige Funktion hat 2, 1 oder 0 Nullstellen.
Für normierte Gleichungen kennen wir den sogenannten Satz von Vieta:
normierte Gleichung: x2+px+q=0
Lösungen: x1 und x2
;an kann die Gleichung in sogenannte Linearfaktoren aufspalten: (x-x1)*(x-x2)
für p und q gelten hierbei folgende Zusammenhänge:
q = x1*x2 und -p = x1+x2.
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3.2 Gleichungen höheren Grades
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Eine Gleichung vom Grad n lässt sich schreiben als:
anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0=0
ai nennt man Koeffizient.
Ist an=1, so nennt man die Gleichung normiert.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass eine reelle Gleichung n-ten Grades für ai alle aus ℝ in ℂ n Lösungen besitzt, wobei Doppellösungen auch doppelt gezählt werden.
Ist eine Lösung komplex, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl eine Lösung.
Für normierte Gleichungen gilt auch für n>2 der erste Teil des Satzes von Vieta:
xn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0
kann geschrieben werden als:
(x-x1)*(x-x2)*...*(x-xn)=0.
Der Satz von Vieta erleichtert uns das Lösen von Gleichungen höheren Grades insofern, als dass man den Grad der noch zu lösenden Gleichung für jede bereits gefundene Lösung verringern kann indem man eine Polynomdivision der Gleichung durch (x-xgefunden) durchführt (was zugleich eine Probe für die gefundene Lösung darstellt, da der Rest 0 sein muss) und für das Ergebnis der Polynomdivision weitere Lösungen findet, bis man alle Lösungen gefunden hat.
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3.3 Kurz und bündig
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Kurz und bündig
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