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2.1 Definition Grenzwert
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Link: Die Ableitung als Grenzwert
Link: Definition Grenzwert
Video
Aufgabe:
Erarbeite dir den Begriff: Grenzwert und die Ableitungsregeln.
Was ist der Anstieg der Tangente?
Der Grenzwert der Folge der Anstiege der Sekanten für h → 0 (Anstieg der Sekante = Differenzenquotient)
Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder 1. Ableitung.
Die Funktion f an der Stelle xo ist differenzierbar wenn f in einer Umgebung von xo definiert ist und der Grenzwert lim((f(xo+h)-f(xo))/h) (h→0) existiert.
Der Grenzwert heißt Differenzialquotient der Funktion f an der Stelle xo, bzw. 1. Ableitung der Funktion an der Stelle xo.
Bemerkung: Anstieg des Graphen = Anstieg der Tangente = Differenzialquotient = 1. Ableitung an der Stelle
Aufgabe:
Überprüfe dein Wissen über Ableitungsregeln indem Du die Zuordnungsaufgabe löst!
Fasse dann die Ableitungsregeln zusammen und lade sie auf Moodle hoch!
Ableitungsregeln-Zuordnungsaufgabe
Link: Berechnung des Grenzwertes bei Unstetigkeitsstellen
Lernstoff
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2.2 Bedeutung der Ableitung
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Link: Ableitung
Mit der 1.Ableitung können die Extremstellen berechnet werden, indem man die erste Ableitung Null setzt.
Die Art der Extrema können durch Einsetzten der Extremstellen in die 2. Ableitung bestimmt werden.
Ist der Anstieg der 2. Ableitung an dieser Stelle größer Null → Minimum.
Ist der Anstieg der 2. Ableitung an dieser Stelle kleiner Null → Maximum
Video zum Berechnen von Wendepunkten
Aufgabe:
Erarbeite dir die Bestimmung von Extrempunkten. Trage die wichtigen Zusammenhänge in dein Lerntagebuch ein.
Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f ':
Extremstelle von f = Nullstelle von f '
f streng monoton fallend = f '(x) kleiner gleich Null
f streng monoton steigend = f '(x) größer gleich Null
An den Wendestellen von f sind die Extremstellen von f '
Deshalb sind die Wendestellen von f die Nullstellen von f ''(notwendiges Kriterium)
Aufgabe:
Erstelle eine Tabelle in deinem Lerntagebuch, die die Zusammenhänge der Graphen von f, f ', f ''
enthält. Trage die Werte der Abbildung in die Tabelle ein.
Eintrag in das Lerntagebuch
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2.3 Stetigkeit
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Eine Funktion heißt "stetig an der Stelle xo", wenn
1. f an der Stelle xo definiert ist
2. limf(x) (für x → xo) existiert
3. limf(x) (für x → xo) = f(xo)
Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von links und von rechts in den Punkt (xo/g) einmündet, der aber auch zum Graphen gehören muss.
Es gibt 3 Arten von Unstetigkeitsstellen:
Lücke, Sprung, Polstelle (siehe Basiswissen)
Beurteile diese Aussagen und schreibe die Antworten in dein Tagebuch:
1. Jede in xo definierbare Funktion hat dort einen Grenzwert.
2. Wenn f(x) in xo nicht definiert ist, hat sie dort keinen Grenzwert.
Eintrag in das Lerntagebuch
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2.4 Zusammenhang zwischen der Existenz eines Grenzwertes und der Stetigkeit an der Stelle xo
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Die Existenz eines Grenzwertes ist eine notwendige Voraussetzung für die Stetigkeit an der Stelle xo.
Aber es ist kein hinreichendes Kriterium. (Gegenbeispiel: Lücke)
Die Stetigkeit ist ein hinreichendes Kriterium für die Existenz des Grenzwertes.
Folgt aus der Existenz des Grenzwertes immer die Stetigkeit?
Folgt aus der Stetigkeit, dass der Grenzwert existiert?
Aufgabe:
Lade deine Antwort auf Moodle hoch!
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2.5 Anwendung des Gelernten an Beispielen
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Berechne mit Hilfe des Differenzialquotienten die 1. Ableitung der Funktion f(x) = (4x²-1)/(2x-1) an der Stelle xo = 0,5!
(Hinweis:Termumformung notwendig)
Kreuzworträtsel
Multiple Choice
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