Beschreibung zu Numerische Berechnung von Reihen

Beschreibung
Symbole, Bedienung und Eingaben
Inhalt:

Summenzeichen, Partialsumme, Reihe
Bedienung
Eingabesyntax

Summenzeichen, Partialsumme, Reihe

Unter Verwendung des symbolischen Summenzeichen ist die n-te Partialsumme durch

n
s_n = å a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n
k=1

gegeben. Als erster Summand in allen Partialsummen wird hier a₁ genommen (Voreinstellung beim Aufrufen der Seite). Das können Sie in dem dafür vorgesehenen Textfeld ändern. Wählen Sie unterhalb des Summenzeichens k=0, so wird die Summe zu

n
s_n = å a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n .
k=0

Die zugehörige Reihe ist - genau genommen - die Folge der Partialsummen. Falls sie gegen eine Zahl konvergiert, so heißt diese der "Grenzwert der Reihe". Ein bißchen schlampig ausgedrückt, handelt es sich dabei um eine "unendliche Summe", weshalb der Grenzwert auch "Wert der Reihe" (oder einfach "Summe") genannt wird.

Bedienung

Dieses (JavaScript-)Programm stellt die Folge der Partialsummen s_n über die eingegebene Folge a_k im gewünschten Bereich (mit der angegebenen Schrittweite) numerisch dar.
Die Partialsummen s_n werden aus technischen Gründen im Ausgabefeld als s[n] geschrieben.
Wählen Sie einen Ausdruck für a_k, sowie einen Startwert, eine Obergrenze und eine Schrittweite für n ! (Zur Eingabesyntax: siehe unten). Klicken Sie auf "Anzeigen"!
Für große n sind die neu dazugeschriebenen Partialsummen während der Berechnung nicht sichtbar. Weiters muß das Programm bei großer Schrittweite die nötigen Summen ohne Anzeige durchführen. In diesen Fällen zeigt die Angabe "Letzter addierter Summand", wie schnell die Berechnung voranschreitet.
Die Berechnug stoppt automatisch, wenn die eingegebene Obergrenze für n erreicht ist. Sie können sie aber durch einen Klick auf den Button "Stop" vorzeitig unterbrechen.
Danach können Sie auf "Weiter" klicken, woduch die Berechnung fortgesetzt wird.
Sie können nach Fertigwerden (Erreichen der eingegebenen Obergrenze für n) oder nach einer Unterbrechung mittels "Stop" die Obergrenze und die Schrittweite ändern und danach auf "Weiter" klicken.
Nach Klick auf den Button "Anzeigen" wird die Berechnung von Beginn an durchgeführt.
Für neue Reihe: einfach einen neuen Ausdruck für a_k (sowie Startwert, Obergrenze und Schrittweite für n) eingeben und auf "Anzeigen" klicken.
Der Button "Reset" stellt den ursprünglichen Zustand der Seite wieder her.

Eingabesyntax

Dezimalzahlen mit Punkt, nicht mit Komma schreiben!
Für die Multiplikation muß das Symbol * geschrieben werden.
Potenzen können als k^m oder als pow(k,m) geschrieben werden. (z.B. k^3 oder pow(k,3) für k³ ).
Eingebaute Funktionen:
sqrt(...), exp(...), log(...), sin(...), cos(...), tan(...), asin(...), acos(...), atan(...), min(...), max(...).
Faktorielle: als k! oder faktorielle(k).
Eingebaute Konstante: E, PI.
Generell sind (weitgehend) beliebige JavaScript-Anweisungen möglich. Das erlaubt es, Mehrfach-Befehle (kleine Programme) ausführen zu lassen. (Nach jeder Anweisung ist ein Strichpunkt zu setzen oder eine neue Zeile zu beginnen). Damit kann die Eingabe komplizierter Terme übersichtlicher gestaltet werden (und manchmal läuft das Programm schneller).

Beispiel 1:
```
   A=k^2+1; B=A+A^2;
   A/k^6
```
Der Wert der zuletzt ausgeführten Anweisung wird dann als a_k übernommen; in diesem Fall a_k = (k²+1 + (k²+1)²)/k⁶ .

Beispiel 2: Fallunterscheidung mittels Funktionsdefinition:
```
   function f(x) {if (sin(x)>0) return 1/x;
                  else return -1/x}
   f(k)
```

	n
s_n =	å	a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n
	k=1

	n
s_n =	å	a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n .
	k=0