Lösungen
  1. Mit f(x) = x2 und x0 = 1 ergibt sich

    f(x0+ h) - f(x0)  =  (1 + h)2 - 12 .

    Der Sekantenanstieg ist somit durch
    (1 + h)2 - 1
    h
    		 
    gegeben. Diese Formel macht nur für endliches (von Null verschiedenes) h Sinn. h = 0 setzen würde auf die unbestimmte Form 0/0 führen. Wir können Sie aber vereinfachen: Lösen wir die Klammer im Zähler auf, so erhalten wir
    1 + 2 h + h2 - 1
    h
    		 
    Ein weiterer Vereinfachungsschritt führt auf
    2 h + h2
    h
    		 .
    Da h von Null verschieden ist, kann durch h gekürzt werden, was den einfachen Ausdruck

    2 + h

    ergibt. Auch dieser Ausdruck ist zunächst für h ¹ 0 gültig; wir sehen aber, was passiert, wenn h gegen Null strebt: der Ausdruck "konvergiert" gegen 2. Das ist unser Resultat: der Anstieg der Tangente ist gleich 2, daher gilt

    f ¢(1)  =  2 .

     
  2. Mit f(x) = x2 ergibt sich

    f(x0+ h) - f(x0)  =  (x0 + h)2 - x02

    Der Sekantenanstieg ist somit durch
    (x0 + h)2 - x02
    h
    		 
    gegeben. Diese Formel macht nur für endliches (von Null verschiedenes) h Sinn. h = 0 setzen würde auf die unbestimmte Form 0/0 führen. Wir können Sie aber vereinfachen: Lösen wir die Klammer im Zähler auf, so erhalten wir
    x02 + 2 x0 h + h2 - x02
    h
    		 .
    Ein weiterer Vereinfachungsschritt führt auf
    2 x0 h + h2
    h
    		 .
    Da h von Null verschieden ist, kann durch h gekürzt werden, was den einfachen Ausdruck

    2 x0 + h

    ergibt. Auch dieser Ausdruck ist zunächst für h ¹ 0 gültig; wir sehen aber, was passiert, wenn h gegen Null strebt: der Ausdruck "konvergiert" gegen 2 x0. Das ist unser Resultat: der Anstieg der Tangente ist durch 2 x0 gegeben, daher gilt

    f ¢(x0)  =  2 x0 .

    Üblicherweise wird im Endresultat der Index 0 weggelassen, womit das Resultat für die Ableitung der Funktion f(x) = x2 an einer beliebigen Stelle x lautet:

    f ¢(x)  =  2 x .

     
  3. Wir benutzen den in Aufgabe 2 erzielten Ausdruck 2 + h für den Sekantenanstieg und erhalten

    sn  =  2 + 1/n .
    (Der Grenzwert dieser Folge für n ® ¥ ist klarerweise gleich 2).
     
  4. Ein Beispiel für eine Funktion, die überall definiert, aber an einer Stelle nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion

    f(x) = |x|.

    Sie ist an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar. Geometrisch lässt sich das einsehen, indem man ihren Graphen betrachtet: er hat im Ursprung einen Knick, besitzt daher in diesem Punkt keine Tangente.

    Rechnerisch lässt sich das so argumentieren:
    f(0) = 0
    f(0 + h) = |h|
    f(0 + h) - f(0) = |h|     ,
    daher ist der Sekantenanstieg durch

    |h| / h

    gegeben. Ist h > 0, so ist das gerade 1, ist h < 0, ist es -1. Wenn also h "von oben" gegen Null strebt (Q ist "rechts" von P ), erhalten wir 1, wenn h "von unten" gegen Null strebt (Q ist "links" von P ), erhalten wir -1. Wenn h gegen Null strebt, dabei aber zwischen positiven und negativen Werten pendelt (Q ist einmal "rechts", dann wieder "links" von P ), erhalten wir überhaupt keinen Grenzwert. Mit anderen Worten: der Grenzprozess h ® 0 führt nicht auf ein eindeutiges Resultat - mathematisch ausgedrückt "existiert er nicht".

    Nachbemerkung: Die beiden Resultate 1 und -1, die für h > 0 und h < 0 erzielt werden, entsprechen den beiden Geraden y = x und y = -x, die noch am ehesten als "Tangenten" anzusehen sind (obwohl sie streng genommen keine sind) und werden "rechtsseitige" und "linksseitige" Ableitung genannt.
     
  5. Wir wählen einen kleinen Wert für h, beispielsweise h = 0.01, und erhalten damit:
    f(2) = 1/2 = 0.5
    f(2 + 0.01) = 1/(2 + 0.01) » 0.49751
    f(2 + 0.01) - f(2) » 0.49751 - 0.5 » -0.00249
    Der Anstieg der Sekante ist daher näherungsweise durch
    -0.00249/0.01  =  -0.249
    gegeben. (Der genaue Wert ist -0.25, also -1/4. Trauen Sie sich zu, die exakte Formel für die Ableitung der Funktion  f(x) = 1/x  nach demselben Schema wie in den Aufgaben 2 und 3 herzuleiten?)